chakra vridhi vyaj CHAPTER-6 class-10 MATH W.B BOARD

chakra vridhi vya  CHAPTER-6 class-10 MATH  W. B BOARD

 1. हमारे पास  5000 रु० है । हम उस रु० को बैंक में वार्षिक 

 8.5  चक्रवृद्धि व्याज(chakra vridhi vyaj )दर पर जमा रखा 

2 वर्ष के अंत में चक्रवृद्धि मिश्रधन कुल कितना होगा ? 

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Ans .  चक्रवृद्धि मिश्रधन  (A) =  p( 1+   r    )n 
                                                          100   
 
यहाँ  p  = 5000 रु०  r = 8.5%  , n=2 
 
= 5000 ( 1+  8.5  )² 
                     100 
 
=  5000 ×  108.5    ×   108.5   
                  100            100 
 
= 5000 . 125  रु ० 
 
= 5886.13  (लगभग )  Ans 

 (2)  5000 रु० का वार्षिक 8% चक्रवृद्धि व्याज(chakra vridhi vyaj)

दर से 3 वर्ष     का चक्रवृद्धि मिश्रधन कितना होगा ?

Ans – चक्रवृद्धि मिश्रधन  (A)  = p( 1+   r    )n 
                                                         100   
 
= 5000 ( 1+   8    )³ 
                    100
 
= 5000  ×    27   ×    27        ×    27    
                  100       100             100  
 
= 6298 .56 रु ० Ans 
 

(3)  गौतम बाबू  2000 रु ० वार्षिक 6% चक्रवृद्धि व्याज दर से 

2 वर्ष के लिए उधार लिया । 2 वर्ष बाद वे कितना चक्रवृद्धि व्याज देंगे ।

Ans .  चक्रवृद्धि व्याज  =  [ ( 1+   r     ) n  – 1 ] 
                                                  100                    
= 2000 × [ ( 1+    6     )²    –  ]
                          100  
 
= 2000  × [ ( 106    )²  – 1 ]
                      100 
 
= 2000  × [     1236     -1 ]
                       10000  
 
= 2000   ×    1236      
                    10000 
 
= 247.20  रु० Ans  
 
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(4)  30000  रु०   का  वार्षिक 9%  चक्रवृद्धि  व्याज दर से 3 वर्ष

 का चक्रवृद्धि व्याज दर ज्ञात करें ।  

Ans –  30000 रु० का 9 %  चक्रवृद्धि व्याज दर से 30 वर्ष  का 
 
चक्रवृद्धि व्याज = p [ ( 1+   r   ) n -1   ]
 
= 3000 [ ( 1+   9     ) –  1 ]
 
 = 30000  ×[ 109   × 109    ×   109     1   ]
                     100       100         100 
 
 = 30000 × [     1295029  –  1000000    ]  
                              1000000 
 
= 30000 ×  295029 
                  1000000 
 
= 8850.87  रु०  Ans. 
 
 

(5)  वार्षिक 5% चक्रवृद्धि व्याज की दर से  80000  रु ० का 2 1/2

  वर्ष का  चक्रवृद्धि  मिश्रधन क्या होगा ? 

Ans .  माना पहले वर्ष का मिश्रधन  = 100 रु ० 
 
पहले वर्ष का व्याज  = 105 रु ०
 
 द्वितीय वर्ष का मूलधन = 5.25 रु ०  [   5    × 105 ]
                                                        100 
 
तृतीय वर्ष का मूलधन  = 110.25  रु ०             
 
  अंतिम 6  माह का व्याज  = 2.75625  रु ०      [     5 ×  1 × 10.25    ] 
                                                                              100 ×  2                                                        
 
2 वर्ष  6 महीने बाद  100 रु० मूलधन का मिश्रधन  = 113.00625 
 
2 वर्ष बाद 80000 रु ० मूलधन का मिश्रधन  =     11300625     × 80000    
                                                                            100 
 
            = 90405  रु ०  Ans . 
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(6)  चंदा देवी 8% वार्षिक व्याज के  दर  पर कुछ रु ०  2 वर्ष के

 लिए उधर लिया  । चक्रवृधि  व्याज 2496 रु०  होने से चंदा

 देवी कितना उधार ली थी   ? 

  Ans माना मूलधन x रु ० 

चक्रवृद्धि व्याज =  p [( 1+   r   )n  -1  ]
 
= 2496 = x × [ 1+   8   )²   – 1 ] 
= 2496  = x × [   27   ×    27     ]
                           25         25 
 
= 2496  = x  × [   729   -1 ]
                            625
 
= 2496  = x  ×   104  
                          625 
 
= x  =       2496  × 625  
                      104  
 
= x  = 24  × 625  
 
∴  x  = 15000  रु ०  Ans 
 
 
 

(7)  वार्षिक 10%  चक्रवृद्धि व्याज दर से किस मूलधन का 3 

 वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज 2648 रु ० होगा ? 

 
Ans . चक्रवृद्धि व्याज  =  = p [ ( 1+   r    )n – 1 ]  
                                                     100 
= 2648  = p [ ( 1+   10    )³  – 1 ]
                              100         
 
= 2648 = p [ (  11  )³  – 1 ]
                        10 
 
= 2648 = p [   11     ×    11    ×    11    ]   
                       10           10          10  
 
= 2648  = p  ×      331   
                           1000 
 
=  p  =     2648   × 1000  
                      331 
 
= 8  × 1000 =  8000 रु०   Ans  
 
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(8) रहमत चाचा वार्षिक 9% चक्रवृद्धि व्याज दर से कुछ रु ०

 समवाय बैंक में जमा करके 2 वर्ष  बाद 29702 .50  रु० चक्रवृद्धि 

मिश्रधन पाए ।  रहमत चाचा कितना रु०  समवाय  बैंक में जमा किए थे ।

 

Ans    माना रहमत चाचा ने x रु बैंक में जमा किया ।
 
चक्रवृधि व्याज  =  (A) = p (1+   r   )  n       
                                              100  
 
= 29702.50  =  × ( 1+   9   )²
                                   100 
 
= x =   29702.50   × 100   × 100 
                       109 × 109  
 
= x  =     297002.5000     
                   11881 
 
∴ x  = 25000  रु०   Ans . 
 
 

 (9)  वार्षिक 8% चक्रवृधि व्याज  कि दर से कितने रु का 3 वर्ष का

 चक्रवृधि मिश्रधन  31492.80 रु० होगा  ? 

Ans .  माना मूलधन x रु० है । 
 
चक्रवृधि सूत्र के अनुसार  A  p (1+   r   )  n       
                                                   100    
 
=  31492.80 = x ( ( 1+   8      )³ 
                                     100      
= 31492.80  =  x  ×   27   ×   27     ×    27    
                                 25         25           25 
 
= x =    31492.80   ×  25  × 25 × 25           
                              19683
 
= x  =  492075000         
               19683 
∴  x = 25000  रु० Ans 
 
 

(10 )  वार्षिक  7.5 % व्याज से 12000 रु०  2 वर्ष का चक्रवृधि  व्याज और सरल 

व्याज में अंतर ज्ञात करें । 

 
Ans .  12000   रु०  का 2 वर्ष का 7.5%  व्याज । 
 
चक्रवृद्धि व्याज  =  p [ ( 1+   r        )  –  1 ]
                                         100 
 
= चक्रवृद्धि व्याज  =  12000 [ ( 1 +   7.5  )²  – 1  ] 
                                                       100 
 
= चक्रवृद्धि व्याज =  12000 [ ( 1+   3   )²  -1 ]
                                                     40 
 
= चक्रवृद्धि व्याज = 12000 × [   43    ×    43    –  1 ]
                                                40          40 
 
= 12000  ×   [   1849    -1 ]
                         1600 
 
= 12000 ×   249   
                  1600 
 
= 1867.50  रु० 
 
12000 रु० का 2 वर्ष 2  वर्ष 7.5%  की दर से सरल व्याज 
 
   12000 × 2 × 7.5  
                100 
 
= 1800 रु0  
 
चक्र्वृधिव्याज और सरल व्याज में अंतर  = 1867.50 – 1800 = 67.50 रु० Ans .
 
 

( 11)  10,000  रु० का वार्षिक 5%  व्याज दर पर  3 वर्ष का  चक्रवृद्धि व्याज  

और सरल व्याज  का अंतर् ज्ञात करें। 

Ans – 10000 रु०  का 5% व्याज दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज 
 
= चक्रवृद्धि व्याज  = p [ ( 1+   r   )n   – 1  ]
                                           100 
 
चक्रवृद्धि व्याज  = 10000  × [ ( 1+   5    )³  -1 ]
                                                        100 
 
चक्रवृद्धि व्याज  =  10000  × [  21   ×   21  ×   21    – 1 ]
 
                                        = 10000 ×[   9261    – 1 ]
                                                            8000 
 
  = 10000 ×    1261   = 1576.25 रु ० 
                      8000 
 
10000 रु ० का  5% की दर से 3 वर्ष  का  सरल  व्याज 
 
                          =    10000 × 5 × 3     =  1500  रु० 
                                        100 
 
सरल व्याज  =  1500  रु० 
 
चक्रवृधि व्याज  और  सरल व्याज में अंतर = 156.25  – 1500.00 
                                                             =  76.25  रु० 
 
= 76.25  रु ०  Ans . 
 
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(12)  वार्षिक 9% व्याज दर से  कुछ रु० के 2 वर्ष की चक्रवृधि 

व्याज व सरल व्याज का अंतर 129.60 रु० हो तो उस रु ० परिमाण क्या होगा ? 

Ans. माना  मूलधन  100 रु० है । 
 
100  रु ० का 2 वर्ष का 9%  की दर से चक्रवृद्धि  व्याज  
 
                            =   p [ ( 1+   r   )n   – 1  ]
                                              100 
 
= 100 [ ( 1+   9    )²  – 1  ]   =  100 × [   109  ×   109     – 1  ]
                    100                                   100       100  
 
= 100 ×  [   11881    – 1 ]
                   10000 
 
= 100  ×  1881    = 18.81  रु० 
               10000 
 
100 रु ० का  9% की दर से सरल व्याज  =     100 × 9 × 2     =  18 रु ० 
                                                                         100 
 
100 रु ० मूलधन पर चक्रवृद्धि व्याज और सरल व्याज में  = 18.81 – 18.00 
                                                                                   =  0.81  रु० 
 
∴  0.81 अंतर होने पर मूलधन  100 रु ० है। 
 
∴ 129.60  रु ० अंतर होने पर =      100      × 129 .60 
                                                    0.81  
 
= 16000  रु ०  Ans 
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(13)  यदि 10 %  व्याज दर से कुछ रु ०  के 3  वर्ष के चक्रवृधि व्याज और 

सरल व्याज  का अंतर 930 रु०   हो तो उस रु ० का    परिमाण ज्ञात करें । 

Ans :  माना मूलधन 100 रु ० है । 
 
100 रु०  का  10%  की दर से 3 वर्ष  का  चक्रवृद्धि व्याज  = p [ ( 1+   r   )n   – 1  ]
                                                                                                     100 
 
= 100 [ ( 1+   10    )³   -1 ] = 100 × [    11  ×  11  ×  11    -1 ]
                     100                                  10       10     10                                                                                                                                                         
= 100  × [   1331   – 1 ]  = 100 ×   331    = 33.10  रु० 
                  1000                           1000  
 
100 रु ० 10% की दर से  3 वर्ष का सरल व्याज  =    100 × 10 × 3   = 30 रु ० 
                                                                                   100 
 
100 रु० का मूलधन होने पर चक्रवृद्धि व्याज और सरल व्याज में अंतर = 
 
                                                33.10 -30.00 = 3.10 रु० 
 
∵  3.10  रु ० अंतर होने पर मूलधन  =   100 रु ० 
 
∴ 930 रु ० का अंतर होने प[पर मूलधन  =    100    × 930  = 30,000  रु०  Ans 
                                                                  3.10                                                      
 
 

(14) वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज दर यदि प्रथम वर्ष  7%  एवं द्वितयी वर्ष 8%

 हो तो 6000 रु0 का 2 वर्ष का चक्रवृद्धि  व्याज ज्ञात करें । 

 
Ans . 2 वर्ष का  6000 रु का मिश्रधन = p [ 1+   r 1  ] [ 1+   r 2  ] 
                                                                      100            100 
 
 = 6000  [ 1+   7   ]  × [ 1 +   8    ] 
                     100                 100 
6000   ×   107    ×    108     
                  100             100 
 
= 6933.60  रु ० 
 
अत :  चक्रवृद्धि व्याज  = A -p  =  6933.60 – 6000  .00 
 
= 933.60 रु ० Ans 
 
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( 15)  यदि वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज दर प्रथम वर्ष  5%  एवं द्वितयी वर्ष

 6 %  हो तो  5000 रु ०  का 2 वर्ष  का चक्रवृद्धि  व्याज ज्ञात करें । 

 
Ans .  2 वर्ष का  5000 रु ० मिश्रधन  =   p [ 1+   r 1  ] [ 1+   r 2  ] 
                                                                      100            100 
 
 = 5000  [ 1+   5    ]  × [ 1 +   6     ] 
                     100                 100 
= 5000   ×   105     ×    106      
                  100             100
 
= 5565.00 रु ० 
 
अत : 2 वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज = 5565  – 5000.00 
 
= 565.50 रु० Ans 
 
 

(16)  यदि  किसी मूलधन का 1 वर्ष का सरल व्याज   50 रु ०  एवं 2 वर्ष का 

चक्रवृद्धि व्याज 102 रु ० हो तो , मूलधन और  वार्षिक व्याज दर ज्ञात करें । 

Ans . किसी मूलधन का प्रथम वर्ष का व्याज 50 रु० 
 
प्रथम  वर्ष  का सरल व्याज  और चक्रवृद्धि व्याज बराबर होता है । 
 
∴ प्रथम वर्ष का चक्रवृद्धि  व्याज  =  50 रु ० 
 
दूसरे वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज  = 102 – 50  = 52 रु० 
 
अत : 50 रु ०  का 1 वर्ष का व्याज  = 52 – 50 = 2 रु० 
 
∴  100  रु ०  का 1 वर्ष का  व्याज =   2  × 100  = 4  रु ० 
                                                     50      
 
अत: व्याज दर =  4 % 
 
∴   4 रु ० व्याज पर मूलधन  100 रु ० 
 
∴  1 रु ० व्याज पर मूलधन   100    रु० 
                                            4 
 
                                            25 
 50  रु० व्याज पर  मूलधन = 100    × 50    = 1250  रु ० 
                                                 
 
व्याज = 4 %  Ans 
मूलधन = 1250 रु ०  Ans  
 
 

(17)  यदि किसी मूलधन का 2  वर्ष  का व्याज  व चक्रवृद्धि  व्याज 

8400 रु०  एवं 8562 रु० हो ,तो  मूलधन  व वार्षिक व्याज दर ज्ञात करें । 

Ans -: 2 वर्ष का सरल व्याज = 8400 रु ० 
 
पहले वर्ष   अर्थात 1 वर्ष का सरल व्याज =   8400     =  4200
                                                                   2                   
∴ चक्रवृद्धि व्याज और सरल व्याज में अंतर ( 8652 – 8400 ) = 252  
 
पहले वर्ष का व्याज 4200 रु० पर 1 वर्ष = 252 रु ० 
 
∴ 1 का  1 वर्ष का व्याज  =   
                   
                              
∴ 100 रु ० का 1 वर्ष का व्याज =                
                         
                                  
∴ व्याज दर = 6 %       ∴ मूलधन =       
 
 
         = 7000 रु ०               
                          
वार्षिक व्याज दर = 6 %    मूलधन = 70,000 रु ० Ans . 
 
 चक्रवृद्धि व्याज और सरल व्याज में अंतर ( 8652 – 8400 ) = 252  
 
पहले वर्ष का व्याज 4200 रु० पर 1 वर्ष = 252 रु ० 
 
∴ 1  रु ० का  1 वर्ष का व्याज  =    252  
                                                  4200
                              
∴ 100 रु ० का 1 वर्ष का व्याज =     252 × 100   =  6 रु ० 
                     100                              4200              
                         
                                  
∴ व्याज दर = 6 %       ∴ मूलधन =  S .I × 100   =    4200 × 100        
                                                          R. T                 6  × 1 
 
         = 7000 रु ०               
                          
वार्षिक व्याज दर = 6 %    मूलधन = 70,000 रु ० Ans . 
 
 
 
chakra vridhi vyaj CHAPTER-6 class-10 MATH W.B BOARD

(18) 6 माह के अंतर पर देय 8 % वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज दर पर 

6000 का 1 वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज ज्ञात करें । 

Ans अर्धवार्षिक अर्थात  6 माह के अंतर पर देय मिश्रधन व्याज का सूत्र 
 
 =A=  p  [1+ r/2 ]2n
                     100
 
A = 6000 [ 1+ 8/2 ]² (1 )
                       100 
 
A = 6000 ×[1+ ]   = 6000 × 26  ×  26      =  6000 × 676 
                       100                     25      25           625 
 
 = 9.6 × 676 
 
= 6489.60 रु ० 
 
अत : चक्रवृद्धि व्याज          = 6489 . 60  –  6000 .00 
 
= 489 .60 रु ० Ans .                                                                                 
chakra vridhi vyaj CHAPTER-6 

 19 ) 3 माह के अंतर पर देय 10 % चक्रवृद्धि व्याज दर पर 6250 रु०

 का 9 माह का चक्रवृद्धि व्याज दर ज्ञात करें । 

 
Ans  3 महीने के अंतर पर देय चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र
 

 

    A =p [ 1+ r/4  ]4n
                    100                      

 

 

= A =  6250  × [ 1+ 10/4  ]⁴× 3/4 
                            100
                                                [ समय = 9 माह = 9/12  = ¾ ]

 

                                                              
= 6250 (1+ 10
                  400                                      
 
= 6250 (41 )
             40

 

= 6250 × 41 ×  41 ×  41
              40     40     40
 
= 6250 ×  68921          = 6730.57    (approx)
         64000

 

अत : चक्रवृद्धि व्याज = 6730- 6250.50

 

  = 480 .57  Ans

 

               

 

 

(21) वार्षिक 8% चक्रवृद्धि व्याज दर पर कितने वर्ष में 40000 

रु० का चक्रवृद्धि मिश्रधन 46656  रु ० हो जाएगा ?

Ans -: चक्रवृद्धि मिश्रधन  A  = p ( 1 +    r     )n  
                                                           100       
 

=    = 46656 = 40000 ( 1 +   r     )n
100  

=     46656      = [  108  ]n
40000             100

 

=  11664        =  [ 108 ]n 
    10000               100  
 
= [  108 ]²   = [   108    ]n
       100             100
       
∴ n = 2 वर्ष  Ans. 
 
 

(22) कितने प्रतिशत वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज दर से 10000 रु०

 का 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन 12100 रु ० होगा ?

Ans. A = p(1+  r   )n
100

जहाँ A = मिश्रधन , r = दर प्रतिशत , n = समय

या, 12100=10000 (1+  r    
100

या,    12100   =   ( 100 +   r  
10000                    100

या,    12100    =    (   100 + r  
10000             100×100

या, 12100 = 10000 + 200r + r²

या , + 200r – 2100 = 0

या, r + 210r – 10r – 2100 = 0

r (r+210)- 10 ( r+210)= 00

या , (r+210)(r-10 ) =0

अथवा , r+210 =0

∴ r = – 210

r  ≠ 210

अथवा  r-10 = 0

∴ r = 10% Ans.

 
 

(23) वार्षिक 10% चक्रवृद्धि व्याज दर पर कितने वर्ष में 50000 रु०

 का चक्रवृद्धि मिश्रधन 60500 रु० होगा , उसे ज्ञात करें . 

 

 

Ans चक्रवृद्धि मिश्रधन A = p [1+   r    ]n
                                                     100
 
= 60500 = 50000 [ 1+  10     ]n
                                    100
 
  =    60500    =     [   11   ]n   
        50000                10
 
 =    121   = [   11  
      100          10
 
= [   11   ]² = [  11   ]n
       10             10
 
∴ n = 2 वर्ष Ans 
 
 
(24) वार्षिक 10% चक्रवृद्धि व्याज दर पर कितने वर्ष में  300000 रु ०
 

 का चक्रवृद्धि मिश्रधन 399300 रु ० होगा , उसे ज्ञात करें ।

Ans. A = p(1 +  r     )n
100

= 399300 = 300000 ( 1 + 10  )n
100

=    399300      = (  11  )n
3000000           10

   1331      = ( 11  )n
1000            10

=  ( 11 )³   = ( 11  )n
10          10

∴ n = 3 वर्ष Ans .

 

(25) 6 माही व्याज वृद्धि दर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज दर से 1600 रु०

 का  1 1⁄2  वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज व चक्रवृद्धि मिश्रधन ज्ञात करें ।

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Ans.  6 माही देय पर चक्रवृद्धि मिश्रधन A = p [ 1+  r/2   ]²n
100

यहाँ समय =

1 1⁄2 वर्ष  = 3/2  वर्ष

A = 1600 × [1+ 10/2  ]²×3/2
100

= A = 1600 × [ 1+  5 
100

= A = 1600 ×  [ 21
20

= A = 1600 ×  21 × 21  ×  21
20     20     20

चक्रवृद्धि मिश्रधन A = 1600 ×  9261  9261   = 1852.50 रु०
8000       5

चक्रवृद्धि मिश्रधन  = 1852.20 रु०

चक्रवृद्धि व्याज = 1852.20 – 1600.00 रु ०

= 252.20 रु ०

= 252.20 रु०  ,   1852.20 रु०

 

(27) किसी मोटर गाड़ी  का मूल्य 3 लाख रु ० है । गाड़ी का वार्षिक 

मूल्य यदि 30% की दर से  घटे , तो 3 वर्ष बाद गाड़ी का मूल्य क्या हो जाएगा ?

 

Ans. गाड़ी का वर्तमान मूल्य = 300000  रु०  

समरूप वार्षिक  कमी  = 30%

समय = 3 वर्ष

3 वर्ष बाद गाड़ी का मूल्य = p [ 1-   r    ]n
100

= 300000 × [ 1-   30  
100

= 300000 ×   7   ×  7   ×  7  
10    10     10

= 102900 रु ० Ans

 
 
 

(29) एक शहर की वर्तमान जनसंख्या 5,76,000  है । यदि प्रतिवर्ष 

जनसंख्या वृद्धि दर 6 2⁄3 % हो तो 2 वर्ष पहले जनसंख्या कितनी थी ?


Ans. वर्तमान जनसंख्या = 5,76, 000

प्रतिवर्ष जनसंख्या समरूप वृद्धि = 6 2/3 % =  20 %
3

माना दो वर्ष जनसंख्या x है ।

बढ़ा हुआ जनसंख्या  = p ( 1+   r     )n
100

= 576000 = x[   1+     20    
3×100

∴ x = 576000 × 15 × 15
16 × 16

= 2250 × 15 × 15

2 वर्ष पहले की जनसंख्या = 506250  Ans

 

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