chakra vridhi vyaj chapter-6.2 class-10 W.B board

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(1) पहलम पुर की वर्तमान जनसंख्या 10000 है । यदि उस ग्राम की प्रतिवर्ष 

जनसंख्या वृद्धि दर 3% हो  तो , 2 वर्ष बाद उस ग्राम की जनसंख्या कितनी हो

जाएगी ? 

Ans . 2 वर्ष बाद  बढ़ी हुई जनसंख्या  = p [ 1+   r    ]n
                                                                         100
= 10000 [ 1+   3   ]²
                      100
=10000 [   103   ]²  = 10000 ×  103     ×    103 
                 100                           100           100
= 10609    उत्तर 
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(2) किसी राज्य की प्रतिवर्ष जनसंख्या वृद्धि दर 2% हो और वर्तमान 

जनसंख्या  80000000  हो , तो 3 वर्ष बाद उस राज्य की जनसंख्या कितनी 

हो जाएगी  ?

Ans . वर्तमान जनसंख्या   = 80000000
जनसंख्या में वृद्धि दर  = 2%
समय = 3 वर्ष
तीन वर्ष बाद की जनसंख्या  = p [ 1+   r    ]n
                                                       100
= 80000000  × ( 1+    2   )³
                                 100
= 80000000 ×   51  ×   51   ×   51 
                         50       50         50
= 84896640  Ans

(3) अपने  मोहल्ले  के एक लेद कारखाने की मशीन का मूल्य

 प्रतिवर्ष 10 %  घटे  तो , उस मशीन का वर्तमान मूल्य 100000 रु० हो 

तो , तीन वर्ष बाद उस मशीन का मूल्य  कितना हो जाएगा ?

 
 
Ans .  3 वर्ष बाद मशीन का मूल्य = p [ 1+   r    ]n
                                                               100
= 100000 × [1-   10  ]³
                          100
= 100000 ×  9   ×   9    ×    9    =  100 ×  9 × 9 × 9
                   10       10        10
 = 729000 रु० Ans .

(4) सर्वशिक्षा अभियान  के फलस्वरूप विद्यालय छोड़ कर चले जाने वाले छात्रों 

को पुनः विद्यालय में भर्ती करने की व्यवस्ठा की है । इस प्रकार प्रतिवर्ष पूर्व वर्ष 

की अपेक्षा प्रवेश दर में 5% वृद्धि हुई है । किसी जिले में वर्तमान वर्ष में यदि 3528 

नए छात्र  प्रवेश लिए ,  तो  2 वर्ष पूर्व उस प्रकार कितने छात्र प्रवेश लिए थे  ? 

 

Ans . माना 2  वर्ष पूर्व  प्रवेश लेने वालों संख्या  (p) = x  है ।
∴ 2 वर्ष बाद प्रवेश लेने वालों की संख्या (A) = 3528
समरूप  वृद्धि दर =  5%
A = p [ 1+   r   ]n
                 100
= 3528 = x [ 1+    5  ]
                          100
= 3528  =  x ×    21   ×    21 
                          20         20
∴  x =   3528 ×  20 ×  20    =  8× 20 ×  20 = 3200   व्यक्ति  Ans .
                  21 × 21

(5) पुरुलिया जिले के पथ   सतर्कता  अभियान के बहुत पथ दुर्घटना में प्रतिवर्ष 

10% की कमी हुई है।  यदि वर्तमान वर्ष में इस जिले  8748 पथ दुर्घटन हुई तो 3 

वर्ष पूर्व कितनी पथ दुर्घटनाएँ हुई थी ? 

Ans . यहाँ तीन वर्ष बाद दुर्घटना की संख्या = 8748  
 
यहाँ दुर्घटना की कमी  = 10%
∴  r = 10%
समय = 3 वर्ष
अतः  A = p [ 1 –  r  ]n
                         100
= 8748 = p  [ 1 –  10   
                           100
= 8748  = p  × ×  9  ×
                       10    10    10
∴  p = 8748 × 10 × 10 × 10   =  12 × 1000
                 9 × 9  × 9
=  12000  Ans
.

(6) एक मछुवारों की सहकारी समिति के  उन्नती शील ढंग से मछली पालन करने से 

प्रतिवर्ष के अपेक्षा मछलियों की संख्या में वर्तमान वर्ष में 10%  वृद्धि होती है।  वर्तमान वर्ष में

यदि वह सहकारी समिति 400 क्विंटल मछली उत्त्पादन की हो , तो तीन वर्ष बाद सहकारी 

समिति का मछली उत्त्पादन कितना होगा ?  

Ans –   तीन वर्ष  बाद की मछली उत्त्पादन  (A )  = p [ 1 –  r  ]n
                                                                                    100
A=  400 [ 1+  10 
                     100
= 400 × 11  × 11  ×  11  =  4× 1331   = 5324 
              10     10      10          10            10
= 532.4 क्विंटल  Ans ।
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(7)  पेड़ की ऊंचाई प्रतिवर्ष  20% दर से बढ़ती है । यदि पेड़ की वर्तमान ऊंचाई 

28.8 मिटर हो , तो 2 वर्ष पहले उसकी ऊँचाई कितनी थी ?  

Ans .  पेड़ की वर्तमान ऊँचाई = 28.8 मीटर 
 
प्रतिवर्ष   ऊँचाई की वृद्धि दर  = 20 %  
 
माना 2 वर्ष पहले की ऊँचाई  = x मीटर है ।
सूत्र के अनुसार पेड़ की वर्तमान ऊँचाई  = x [ 1+    20    ]²
                                                                          100
= 28.8 = x × ×  6 
                     5      5
∴ x =   28 ×5 × 5  ` = 20  मीटर   Ans
                6  × 6

(8)  किसी परिवार द्वारा आज से 3  वर्ष  पहले विधुत अपचय रोकने के फलस्वरूप

पूर्व वर्ष की तुलना में 5% कमी की कल्पना की गई है । यदि 3 वर्ष  पहले परिवार 

की विजली बिल यदि 4000 रु ० है तो  उस परिवार की वर्तमान  बिजली बिल

 कितना होगा  ?   

Ans .  3 वर्ष पहले बिजली बिल  = 4000 रु ०
कमी की दर  = 5%
समय = 3 वर्ष
3  वर्ष बाद  अर्थात वर्तमान बिजली बिल = 4000 रु ०  [ 1 –   5  ]
                                                                                      100
  =  4000 × 19 × 19  × 19 
                  20     20     20
 6859 
       2
= 3429.50  रु ०   Ans .
(9) सोभन बाबू का वजन  80  किलो ग्राम है । वजन कम करने के लिए 
 
नियमित चलना शुरू किया । वे तय किए कि प्रतिवर्ष पूर्व वर्ष वजन कि 
 
अपेक्षा 10 % वजन कम करेंगे । 3 वर्ष पहले  शोभन बाबू का बचन कितना था ?
Ans . शोभन बाबू का वर्तमान वजन = 80  किलो ग्राम
प्रतिवर्ष  वजन में  कमी दर = 10%
माना  3 वर्ष पहले शोभन   बाबू का वजन  =  x  किलो ग्राम  था ।
सूत्र के अनुसार A = p [ 1-  r   ]n
                                      100
= 80 = x [ 1 –    10    ]³
                        100
= 80 = x  ×× ×  9 
                 10    10    10
∴  x =    80  × 10 × 10 × 10    =     80000    kg
                    9 × 9  × 9                   729
= 109 . 74  किलो  ग्राम   Ans .
(10) किसी जिले से सभी माध्यमिक शिक्षा केंद्रों में छत्रों की संख्या 3993 है । 
 
प्रति वर्ष यदि पहले वर्ष की तुलना में 10% छात्र  संख्या बढ़े तो 3 वर्ष पहले उस 
 
जिले में कुल कितने छात्र थे ?
 
Ans . माना 3 वर्ष   पूर्व छत्रों की संख्या x है ।
वर्तमान छत्रों की संख्या = 3993
प्रति वर्ष वृद्धि दर = 10%
समय =  3 वर्ष
सूत्र के अनुसार  A  = p [ 1-  r   ]n
                                      100
= 3993 = x  × 11   ×  11   × 11 
                       10      10       10
∴  x =   3993  × 10  × 10  × 10     = 3  × 10  × 10  × 10
                   11   × 11   × 11
= 3000  Ans
(11)  खेती के जमीन जमीन में रासायनिक खाद व कीटनाशक व्यवहार में 
 
सतर्कता के परिणाम स्वरुप रसूलपुर गांव में रासायनिक खाद और कीटनाशक 
 
व्यवहारक किसान की संख्या पूर्व वर्ष की अपेक्षा प्रति वर्ष २० % की कमी होती  
 
है।  3 वर्ष पहले उस ग्राम  में ऐसे किसानो  की संख्या यदि 3000 थी , तो वर्तमान
 
 समय में उस तरह के कितने किसान थे ? 
 
 
Ans .   तीन वर्ष पूर्व  किसानो की संख्या  = 3000
 
संख्या  में कमी की दर = 20%
माना वर्तमान किसान  की संख्या = x
माना वर्तमान किसान की संख्या = 3000 [ 1- 20 
                                                                 100
= x = 3000 × 4 × 4 × 4
                     5    5     5
= x = 24 × 4 × 4 × 4 = 1536
= किसानो की संख्या = 1536  Ans
 (12 ) किसी  कारखाने  के  एक मशीन का मूल्य 180000  रु० है । यदि 
 
उस मशीन का मूल्य प्रति वर्ष 10 % घटे  तो तीन वर्ष बाद उस मशीन 
 
का मूल्य कितना होगा ?
 
 
Ans . मशीन का वर्तमान मूल्य = 180000 रु ०   
प्रति वर्ष मूल्य मैं कमी (r) = 10%
समय = 3 वर्ष
अत:  3 वर्ष बाद मशीन का मूल्य  (A) = p (1-  r  )n
                                                                   100
= 180000 ( 1- 10 )³= 180000 ×(  9   )³
                      100                        10
 = 180000 ×   9 ×   9 ×  9 
                      10   10    10
= 131220  रु ०  Ans ।
13) वकूलतला  ग्राम पंचायत समिति में जिन परिवार में विजली की सुविधा 
 
नहीं है । उनमें विधुत पाहुचने  की योजना बनी है । इस  ग्राम में 1200 परिवारों 
 
में विजली की सुविधा  नहीं है । प्रति वर्ष यदि पूर्व वर्ष की तुलना में 75 % विधुत
 
 हो , तो परिवार में विधुत पाहुचने की व्यवस्था की जाए तो 2 वर्ष बाद वकूलतला
 
 ग्राम में विधुत होने  वाले परिवारों की संख्या कितनी होगी  ? 
 
 
Ans .  वर्तमान परिवार की  संख्या जिनके घर विजली नहीं है । =1200
विजली  पहुंचाने की प्रति वर्ष दर 75 %
माना 2 वर्ष बाद परिवारों की संख्या x है ।
2 वर्ष बाद किसानो की संख्या  = p (1 – r   
                                                       100
= 1200 [ 1- 75   
                  100
= 1200 × 1 ×  1 
               4     4
= 75 Ans
 
 
 
(14) ठंडे जल की बोतल व्यवहार के ऊपर दुष्प्रचार के फलस्वरूप प्रति वर्ष
 
 उसके पहले वर्ष की अपेक्षा ठंडे जल की बोतल व्यवहारकों की संख्या 25%
 
 घट जाती है । यदि 3 वर्ष पहले ठंडे पानी की बोतल व्यवहारकों की संख्या 
 
80000 हो तो वर्तमान वर्ष में  ठंडे जल की बोतल व्यवहारकों की संख्या कितनी 
 
होगी ? 
 
Ans .  तीन वर्ष पहले बोतल व्यवहारकों की संख्या = 80000
 
प्रति वर्ष संख्या में कमी = 25 %
समय = 3 वर्ष
3 वर्ष बाद बोतल व्यवहारकों की संख्या  = 80000 [ 1-  25   ]³
                                                                                 100
= 80000 ×   3  ×  3  ×  3 
                    4      4     4
= 1250 × 3  ×  3  ×  3
= 33750 Ans.
(15) धूम्रपान विरोधी प्रचार  के फलसरूप प्रति वर्ष  धूम्रपान कर्ताओं की 
 
संख्या 6 1/4 %  घट जाती है । वर्तमान समय में शहर में 33750 लोग ध्रूमपान 
 
करते हो , तो तीन वर्ष पूर्व उस शहर में कितने लोग ध्रूमपान करते  थे ? 
 
 
Ans – वर्तमान समय में धूम्रपान करने वालों की संख्या  = 33750
 
माना तीन वर्ष  पहले संख्या = x
धूम्रपान करने वालों की संख्या  की कमी = 25/4 %
सूत्र के अनुसार  A = p [ 1-    r   ]n
                                         100
= 3375 = x [1- 25/4 ]³
                      100
= 33750 = x[1-   25   ]³
                          400
=33750 = x × [   15 
                           16
= 33750 = x ×  15  × 15  × 15 
                        16     16      16
∴ x = 33750 × 16 × 16 × 16 
               15 × 15 × 15
=  10 × 16 × 16 × 16 = 40960
तीन वर्ष पूर्व धूम्रपान करने वालों की संख्या 40960  Ans .
 
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(16) (A) M.C.Q 
(i) चक्रवृद्धि व्याज के क्षेत्र में प्रति वर्ष वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज की दर 
 
(a) समान  (b) आसमान  (c) समान और आसमान दोनों (d) कोई भी नहीं 
Ans। (c) समान और आसमान दोनों
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(ii) चक्रवृद्धि व्याज के क्षेत्र में –
 
(i) प्रति वर्ष मूलधन समान होता है ।  (ii) (b) प्रति वर्ष मूलधन बदलता है । (c) प्रति वर्ष मूलधन समान हो सकता है 
 
अथवा बदल सकता है ।  (d ) कोई भी नहीं । 
Ans – (b) प्रति वर्ष मूलधन बदलता है ।
(iii) एक गाँव की वर्तमान जनसंख्या p एवं  प्रति वर्ष जनसंख्या वृद्धि दर  2r% होने से  n वर्ष जनसंख्या हो जाएगी । 
 
(a) p[ 1+  r   ]n          (b)p[1+   r   ]n       (c) p[ 1+  r   ]2n      
             100                             50                         100
(d)p[ 1-   r   ]n 
            100    
Ans . (b) p[1+   r   ]n
                       100
(iv)एक मशीन का वर्तमान मूल्य 2p रु०  है । एवं प्रति वर्ष मशीन का मूल्य 
 
 2r% कम होने से  2n वर्ष बाद मशीन का मूल्य होगा । 
 
(a) p(1-  r   )n रु०    (b)2p(1-   r   )n रु०  (c) p(1-  r   )2n रु०  (d)2p(1-   r   )2n रु०  
           100                             50                              50                              50 
Ans. (d) 2p( 1-   r  )2n रु०
                         50
(v) कोई व्यक्ति किसी बैंक  100 रु० जमा रख कर 2 वर्ष बाद चक्रवृद्धि 
 
मिश्रधन 121 रु० पाया , तो वार्षिक  चक्रवृद्धि व्याज दर है – 
 
  
 (a ) 10 %   (b) 20%  ( c )  5%   (d) 10 1⁄2 
 
Ans .  (a)  10 %
 
(B) निम्नलिखित सत्य या असत्य  लिखे ।
 
 (i) निर्दिष्ट परिमाण रु० की   निर्दिष्ट वार्षिक व्याज दर से निर्दिष्ट समय
 
 की चक्रवृद्धि व्याज सरल व्याज से कम होगा । ( असत्य )
 
(ii) चक्रवृद्धि व्याज के क्षेत्र निर्दिष्ट समय के अंतर पर व्याज मूलधन के 
 
साथ  योग किया जाता है । इसी कारण मूलधन का परिमाण 
 
बढ़ता जाता है ।    ( सत्य
 
(iii)निर्दिष्ट  मूलधन की व्याज दर समान होने से  2 वर्ष का सरल  व्याज 
 
चक्रवृद्धि व्याज की तुलना  में अधिक होगा । ( असत्य ) 
 
 
(C) रिक्त स्थान की पूर्ति करें । 
 
(i) निर्दिष्ट रु० का वार्षिक प्रतिशत व्याज  दर पर 1 वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज 
 
का मान सरल व्याज के   मान से _______ होता है । 
 
Ans . बराबर 
 
(ii) समय के साथ किसी निर्दिष्ट वस्तु का  निर्दिष्ट व्याज में वृद्धि होने से
 
___________वृद्धि होती है । 
 
Ans. समरूप 
 
(iii) समय के साथ किसी निर्दिष्ट व्याज दर में कमी होने से समदर 
 
___________कहलाती है । 
 
Ans समरूप हास 
 
(iv) किसी मूलधन की वार्षिक व्याज दर समान होने से ____________ 
 
वर्ष में साधारण व्याज और चक्रवृद्धि व्याज समान होगा । 
 
Ans प्रथम  
 
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17) संक्षिप्त उतरीय प्रश्न 
 
(i) 400 रु० का 2 वर्ष में चक्रवृद्धि मिश्रधन 441 रु० होने से प्रतिशत 
 
वार्षिक चक्रवृद्धि व्याज दर कितनी होगी ? 
 
 
Ans . (i) A= p[1+   r  ]n
                            100
= 441 = 400 [ 1+   r   ]²
                           100
=   441  = [ 100+  ]²
     400                100
= [  21 ]² = [ 100+   r   ]²
      20                   100
= 100+r  = 21 
    100        20
= 2000 + 20r =2100
 20r =2100 – 2000 =100
∴ r = 100 = 5%
          20
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(ii) वार्षिक निर्दिष्ट प्रतिशत चक्रवृद्धि व्याज दर पर कुछ रु० n वर्ष में दुगुना हो जाता है ,
 
 तो कितने वर्ष में वह चार गुना होगा ? 
Ans एक निश्चित व्याज दर से यदि कोई रु0  n वर्ष  में दो गुना होता है ।
तो उसी व्याज दर से वही मूलधन 2n वर्ष में चार गुना होगा ।
 Ans.  2n वर्ष
 (iii) वार्षिक 5%  चक्रवृद्धि व्याज दर पर कुछ रु० का 2 वर्ष का चक्रवृद्धि व्याज
 
615 रु० हो तो मूलधन निर्णय कारों ।      
Ans चक्रवृद्धि व्याज = p [(1+    r      ]n- 1 ]
                                              100
=615 = p [( 1+   5   )² -1 ]
                        100
= 615 = p [ 21 × 21 – 1 ]
                   20    20
= 615 = p × [ 441  -1 ]
                      400
=615 = p ×   41 
                    400
∴ p = 615 × 400  = 6000 रु   Ans
               41
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(iv) प्रति वर्ष r% कमी होने से n वर्ष बाद किसी मशीन का मूल्य v रु०
 
 हो , तो n वर्ष पूर्व मशीन मशीन का मूल्य कितना था । 
Ans  माना n वर्ष पूर्व मशीन का मूल्य = x रु०
 A= p [ 1-   r   ]n
                100
अथवा , x= v(1 –   r   )-n
                          100
= v = x [100 –   r   ]n
                      100
= x × (100 -r )n
          (100 )n
∴ x = v × 100 n              Ans
          (100 -r)n
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(v) प्रति वर्ष  r%  जनसंख्या  वृद्धि होने से n वर्ष बाद यदि जनसंख्या p 
 
हो तो n वर्ष पूर्व जनसंख्या कितनी  थी । 
Ans माना n वर्ष पूर्व जनसंख्या  x है ।
जनसंख्या में वृद्धि दर = r%
n वर्ष बाद जनसंख्या = p
A = p [ 1+   r   ]n
                 100
= p = x [ 1+   r   ]n    = x × [ 100 + r ]n
                    100                      100
= p = x (  100 +r   )n
                 100n
अथवा ,  x=p (  1+ r  ) -n
                        100
∴ x = p × 100n         Ans
        (100 + r )n
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