वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3(2) class-10(W.B Board)

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(1) वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3(2) O केंद्रीय किसी वृत्त का अर्द्धव्यास 5  सेंटीमीटर है
एवं AB जीवा की लम्बाई 8 सेंटीमीटर है।  O  बिंदु से AB  जीवा की दूरी ज्ञात करके लिखे। 
Ans.  यहाँ O  केंद्र वाले वृत्त का अर्द्धव्यास  (OB) = 5 CM
एवं चापकर्ण (AB) =  8 cm
केंद्र  O से चापकर्ण  AB पर लम्ब खींचा गया है।
∴ BD = ½ AB = ½ × 8  CM = 4  CM
O केंद्रीय किसी वृत्त का अर्द्धव्यास 5 सेंटीमीटर है एवं AB जीवा की लम्बाई 8 सेंटीमीटर है। O बिंदु से AB जीवा की दूरी ज्ञात करके लिखे।
(वृत्त के केंद्र से चापकर्ण चाप कर्ण से खींचा गया लम्ब चाप कर्ण को समद्विभाजित करती है )
अब समकोण Δ ODB में OD² = OB² – BD² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9
∴ OD = √9 = 3 C.M
अतः वृत्त के केंद्र O  चापकर्ण  AB की  दूरी (OD ) = 3  CM  Ans .
(2) O  केंद्रीय व्यास की लम्बाई 26 सेंटीमीटर है।  O  बिंदु से जीवा PQ  की दूरी 5 

सेंटीमीटर है।  PQ जीवा की लम्बाई ज्ञात करके देखें।  

 (2) O केंद्रीय व्यास की लम्बाई 26 सेंटीमीटर है। O बिंदु से जीवा PQ की दूरी 5 सेंटीमीटर है। PQ जीवा की लम्बाई ज्ञात करके देखें।

हल – यहाँ वृत्त पर केंद्र O  , चापकर्ण PQ  और व्यास PR है।

व्यास (PR) = 26 सेंटीमीटर

∴ अर्द्धव्यास  OQ  = ½ × 26 = 13 सेंटीमीटर

O से चापकर्ण  PQ की  दूरी  5 सेंटीमीटर है।

अतः O से PQ पर खींचे गए लम्ब OS की लम्बाई = 5 सेंटीमीटर

अब समकोण त्रिभूज OSQ में SQ² = OQ² – OS² = 13² – 5²

= 169 – 125 = 144

∴ SQ = √144  सेंटीमीटर  =  12 सेंटीमीटर

∴ PQ = 2  × SQ = 2 × 12 = 24 सेंटीमीटर  ANS .

(3) O केंद्र वाले वृत्त की कोई जीवा PQ की लम्बाई 4 सेंटीमीटर है 

एवं O बिंदु से PQ की दूरी  2. 1 सेंटीमीटर है , तो वृत्त के व्यास की 

व्यास की लम्बाई ज्ञात करके देखे। 

 (3) O केंद्र वाले वृत्त की कोई जीवा PQ की लम्बाई 4 सेंटीमीटर है एवं O बिंदु से PQ की दूरी 2. 1 सेंटीमीटर है , तो वृत्त के व्यास की व्यास की लम्बाई ज्ञात करके देखे।
हल -: O केंद्र वाले वृत्त के  चापकर्ण PQ  की लम्बाई = 4 सेंटीमीटर
एवं O  केंद्र से चाप कर्ण PQ  की दूरी OR  = 2.1 सेंटीमीटर है।
∴  QR =  ½ × PQ =  ½  ×4 = 2 C.M
Δ  OQR  में  OQ² =  OR² + RQ²
=  (2.1)² +(2)²
= 4.41 + 4 = 8. 41 CM.
∴ OQ = √8.41 C.M = 2.9 C.M
अतः व्यास SQ = 2 × OQ = 2 × 2.9 =5.8  सेंटीमीटर  ANS .
(4) O  केंद्र वाले वृत्त की दो जिवाओं की लम्बाई क्रमशः 6  सेंटीमीटर
  एवं  8 सेंटीमीटर है।  यदि छोटी  छोटी जीवा केंद्र से 4 सेंटीमीटर की
 दूरी पर हो , तो दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी निकाल कर देखें। 
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हल -: AP =  ½ AB  =  ½ × 6 C.M = 3 C.M
Δ  AOP  में  OA² = AP² + OP² = (3)² + (4)²
OA² = (9 + 16 ) CM² = 25 CM²
∴ OA = √25cm² = 5cm
वृत्त का अर्द्धव्यास  OA = OC = 5 cm
                              __________      _________
△ OCQ  में OQ = √OC²  – CQ²  = √(5)² – (4)²   = √ 9 = 3
केंद्र से बड़े जीवा की दूरी = 3 CM ANS .

(5) यदि किसी वृत्त की एक जीवा की लम्बाई 48 सेंटीमीटर एवं केंद्र से उस 

जीवा की दूरी 7 सेंटीमीटर हो , तो उस वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी 20 

सेंटीमीटर है।  उस जीवा की लम्बाई ज्ञात करे। 

हल -:
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माना O केंद्र वाले वृत्त में  AB  चपकर्ण की लम्बाई  48 CM  तथा केंद्र O से

AB  की दूरी OE = 7 सेंटीमीटर है।  O से AB पर OE लम्ब है।

∴ समकोण  △ OBE में  OB² = OE²

या, OB² = (7)² + (24)²

या,  OB² = 49 + 576

या, OB² =  625

∴ OB = √625  ± 25 सेंटीमीटर  =  25 सेंटीमीटर

वृत्त का दूसरा चापकर्ण  CD जो केंद्र से 20 सेंटीमीटर की दूरी पर है।

अर्थात केंद्र O  से CD  की लम्बत दूरी (F ) = 20 सेंटीमीटर

∴ समकोण  △ OFC में CF² = OC² – OF² = 25² – 20² = 625 – 400

या,CF² = 225 वर्ग सेंटीमीटर

∴  CF = √225  सेंटीमीटर = 15 सेंटीमीटर

∴ चापकर्ण  CD की लम्बाई = 2 × CF = 2  × 15 = 30 सेंटीमीटर  ANS .

(6) पास के O केंद्र वाले वृत्त के चित्र में OP ⊥ AB ; AB  = 6 सेंटीमीटर 

एवं  PC = 2 सेंटीमीटर होने से वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई ज्ञात करके देखे। 

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  हल -: चित्र में O बिंदु वृत्त का केंद्र है।

OP, चापकर्ण  AB  पर लंब है।  PC = 2 से० मी ०

OA = OC = r

पुनः OA =OC = OP +PC

OA =OP + PC

∴ OP = OA – PC = r – 2  से ०  मी ०

समकोण  △ OPA में ,

OA² = OP² + AP²

या, r ² = (r – 2 )² +(3)²

या, r² =  r² -4r +4 +9

या, r² – r² + 4r =13 से०  मी ०

या, 4r =13 से० मी०

∴ r = 13⁄4  = 3. 25 से० मी०

वृत्त का अर्द्धव्यास (r )= 3. 25 से० मी०  ANS .

वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3.2

(7) कोई सरल रेखा दो समकेंद्रीय वृतो में एक को A  और B पर तथा दूसरे 

को C  और D बिंदु पर काटती है। युक्ति के साथ प्रमाणित  करे कि AC =DB 

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हल -: XY सरल रेखा दो संकेन्द्रय  वृत्त में एक वृत्त को A और B  बिंदुओं पर
तथा दूसरे वृत्त को C और D बिंदुओं पर काटती है।
तो सिद्ध करना है कि AC = BD
रचना –  केन्द्र O से XY पर OM लम्ब खींचा गया है।
प्रमाण – AM = BM  …………………….(i)

पुनः CD वृत्त का चापकर्ण   तथा OM , CD पर लम्ब है।

∴  CM =MD ———–( ii)

अब II से   I  घटाने पे

AM – CM =BM – MD

∴ AC = BD प्रमाणित

 

(8) प्रमाणित करे  कि किसी वृत्त की परस्पर प्रतिच्छेदी जिवायें एक दूसरे को 

समद्विभाजित नहीं कर सकती , जब तक कि दोनों वृत्त का व्यास ना हो। 

(8) प्रमाणित करे कि किसी वृत्त की परस्पर प्रतिच्छेदी जिवायें एक दूसरे को समद्विभाजित नहीं कर सकती , जब तक कि दोनों वृत्त का व्यास ना हो।

 

हल -: हम जानते है कि किसी  जीवा का लम्ब समद्विभाजक
केंद्र से होकर गुजरता है।
माना AB  जीवा का लम्ब समद्विभाजक CD है ,
जो AB  के जीवा को M बिंदु पर  समद्विभाजित  करती है।
और केंद्र O से होकर गुजरती है।
यहाँ AM = MB किन्तु CM ≠ MD ; CM > MD
लम्ब समद्विभाजक दो बराबर भागो में तभी बट सकता है ,
जब AB वृत्त के केंद्र O  से गुजरे , उस हालत में OC =OD
इस प्रकार AB एवं CD दोनों ही व्यास होगा।
अतः यह सिद्ध होता है कि दो परस्पर प्रतिच्छेदी जिवायें एक दूसरे को
समद्विभाजित तभी करती है , जब तक की ये वृत्त की व्यास हो।  सिद्ध

(9)  X  व Y केंद्र वाले दो वृत्त एक दूसरे को A  और B बिंदु पर काटते

 है। XY के मध्य बिंदु  S के साथ A बिंदु को मिलाया एवं A बिंदु से होकर 

SA पर लम्ब डाला , जो दोनों वृतों P और Q बिंदु पर काटती है , तो 

प्रमाणित करे कि PA = AQ 

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हल -: माना X  और Y केंद्र वाले दो वृत्त एक दूसरे को A  और B बिंदु पर
काटते है।  S , XY का मध्य बिंदु है और A  और S को मिलाया गया है।
PQ  को AS के A बिंदु पर लम्ब डाला गया है , जो दोनों वृत्तों को P  और
Q  बिंदु पर काटते  है।  तो  प्रमाणित करना है कि PA = PQ
रचना -: X  और Y  से PQ  पर क्रमशः XM  और YN लम्ब है।
XN को मिलाया गया जो  AS को O बिंदु पर काटता है।
प्रमाण – AS ⊥ PQ (कल्पना से लिया गया )
XM और YN भी PQ पर लम्ब है (रचना के अनुसार )
∴ XM , YN और SA  तीनों सामानांतर रेखाएँ है।
△ XNY में XY का मध्य बिंदु S है और SO ॥ NY
∴O , XN का  का मध्य बिंदु है।
पुनः △ MNX में YN का मध्य बिंदु O है एवं OA ॥ XM
∴ A , MN  का मध्य बिंदु है।
∴ AM = AN ————–(i)
पुनः XM चापकर्ण AP पर लम्ब है।
∴ AM =  PM अर्थात AM = ½ AP ——–(II )
पुनः YN  चापकर्ण  AQ पर लम्ब है।
∴ AN =NQ अर्थात AN=½ AQ ————-(III)
I , II  , और III से
AM = AN
½AP  = ½ AQ
या, AP = AQ  प्रमाणित

(10) O केन्द्र केंद्रीय वृत्त की दो सामानांतर जिवायें जिनकी लम्बाई

 क्रमशः 10 से ० मी० एवं 24 से ० मी ० केंद्र के दो तरफ स्थित है। 

यदि AB और CD जिवाओं की दूरी 17 से ० मी ० हो , तो वृत्त  की 

व्यासार्ध लम्बाई ज्ञात करें। 

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हल -: माना वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई r  सेंटीमीटर है।
 दोनों जीवा की बीच की दूरी = 17 सेंटीमीटर है।
माना केंद्र से CD की दूरी X  सेंटीमीटर है
∴ केंद्र से AB की दूरी = (17-X ) से ० मी ०
∆ COP  में CO² OP² +CP²
= X² +(12)²

उसी प्रकार  ∆ AOQ  में OA² = OQ² = AQ² = (17 -X )² +(5)²

अब OC² = OA² [ ∴ OC = OA ]

X² + 144 = (17 – X )² + (5)²

= X² + 144 = 289 – 34X +X² + 25

= 34X = 289 =25 – 144 =314 – 144 =170

∴ X = 170⁄34  = 5 सेंटीमीटर

पुनः OC² = X² + (12)²

= (5)² + (12)²

= 25 +144

OC² =169

∴ OC = 169 = 13 से०  मी०  ANS .

(11) दोनों वृतों के केंद्र  P  एवं Q है तथा वे एक दूसरे को A और B पर काटते है। 

A बिंदु से PQ सरल रेखा खंड के समानांतर सरल रेखा वृत्त को C और D दो बिंदुओं 

पर काटती है , तो प्रमाणित करे DC = 2PQ .

(11) दोनों वृतों के केंद्र P एवं Q है तथा वे एक दूसरे को A और B पर काटते है। A बिंदु से PQ सरल रेखा खंड के समानांतर सरल रेखा वृत्त को C और D दो बिंदुओं पर काटती है , तो प्रमाणित करे DC = 2PQ

हल -: P  और Q केंद्र वाले दो वृत्त एक दूसरे को  A और B बिंदु पर काटते है।
A  से  PQ के समानांतर CD रेखा खींची गई है , जो वृत्त को  C  और D बिंदु
पर  काटती है। तो प्रमाणित करो कि CD = 2PQ
रचना :- वृत्त के केंद्र  P और Q से PM और QN लम्ब CD पर डाला गया है।
प्रमाण :- PM वृत्त की जीवा AD पर लम्ब है ,
अतः AM = MD  ∴ AM = ½ AD
उसी प्रकार , QN वृत्त की जीवा AC पर लम्ब है ,
अतः AN = CN  ∴ AN = ½ AC
अब  PQ = MN
  = AM +MN
 = ½ AD  + ½ AC  = ½ (AD + AC ) = ½ CD
या, PQ  = ½ CD
∴ CD  = 2 PQ  सिद्ध

(12) किसी वृत्त की AB  और  AC से जिवायें सामान है।  प्रमाणित करे कि 

ㄥ BAC की समद्विभाजक केन्द्रगामी होगी। 

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हल :- माना O  केंद्र वाले वृत्त की दो जिवायें AB  और AC  बराबर है।
प्रमाणित  करना है कि  वृत्त  का केंद्र O ㄥBAC  के समद्विभजिक पर
 स्थित या ∠BAC का समद्विभाजक  केन्द्रगामी है।
रचना -: ㄥBAC  का समद्विभाजक AD खींचा है जो BC को M बिंदु पर काटती
है।  B और C को मिलाया।
प्रमाण :- ∆ BAM  और ∆ CAM में , AB =AC ( प्रश्न में दिया हुआ है )
∠BAM  = ∠CAM ( रचना के अनुसार )
AM = AM (उभयनिष्ट है )
∴ Δ BAM = Δ CAM
अतएव  ∠BMA = ∠CMA
किन्तु ये  आसन्न कोण है।  ∴ ∠ BMA = ∠ CMA = 90°
साथ ही साथ BM = CM
अतः AM जीवा BC का लम्ब समद्विभाजक है ,
जिसे बढ़ाने पर वह वृत्त के केंद्र O से हो कर जायेगा।

(13) यदि किसी वृत्त को परस्पर काटने वाली जिवायें द्वारा निर्मित का

 समद्विभाजक रेखा केन्द्रगामी हो , तो प्रमाणित करे कि वो दोनों जिवाओं

 की लम्बाई समान होगी  

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हल :- माना AB  और CD  एक दूसरे को P बिंदु पर काटती है  O वृत्त का केंद्र है।
∠APC  का समद्विभाजक PQ  केन्द्रगामी है , तो प्रमाणित करो की AB =CD
रचना :- O से AB और CD पर क्रमशः OM और AN लम्ब खींचा
ΔOPM और Δ OPN में
∠OMP = ∠ ONP = 90°(सभी 90° है )
∠ OPM = ∠ OPN , P ∠ APC समद्विभाजक पर स्थिर है।
OP = उभयनिष्ट है।
∴ Δ OPM = Δ OPN
∴ OM = ON
अब AB और CD दोनों जिवाओं की दूरी केंद्र से बराबर है।
अतः AB = CD     सिद्ध
वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3.2

(14) प्रमाणित करे कि किसी वृत्त की दो जिवाओं में जो जीवा केंद्र से कम दूरी 

पर होती है उसकी लम्बाई दूसरी जीवा से बड़ी होती है। 

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हल :- माना O केंद्र वाले वृत्त में AB और CD  दो जिवायें है।
जिनमें AB > CD  ,  OM ⊥ AB  और ON ⊥ CD
सिद्ध करना है कि OM < ON
रचना :- OA और OC को मिलाया।
प्रमाणित -: M और N क्रमशः AB और CD के मध्य बिंदु है।
= AM = ½ AB , CN = ½ CD
= AB > CD ( प्रश्ननुसार )
AM > CN
Δ АMO में AM² = OA² – OM ²
Δ CNO में CN² = OC² – ON²
∴ AM² > CN²
AO² – OM² > AO²  – ON ² (ON = OC दोनों अर्द्धव्यास है। )
=  -OM² < -ON²
= OM < ON
अर्थात जो जीवा केंद्र से कम  दूरी पर होती है , उसकी लम्बाई अधिक होती है।


(15) किसी वृत्त के भीतर किसी बिंदु से गुजरने वाली क्षुद्रतम जीवा कौन सी होगी ?
प्रमाणित करके लिखे। 

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हल :- O केंद्र वाले वृत्त में P एक बिंदु है।  P से AB और CD जिवायें गुजरती है।
किन्तु AB का मध्य बिंदु P है।  अर्थात AP =BP
पता करना है कि AB और CD  में कौन सा जीवा छोटा होगा ?
रचना :-  OP  को मिलाया CD पर OQ  लम्ब खींचा।
O  से B और D को मिलाया।
प्रमाण :- OP ⏊ AB ( केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु पर खींची गई मध्य
रेखा जीवा पर लम्ब होती है।  )
OQ ⏊ CD ( रचना के अनुसार )
OP > OQ [ समकोण त्रिभुज के कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है। ]
AB = 2 BP  = 2 √OB²- OP²  = 2 √OD² – OP² ———–(I)
इसी प्रकार CD = 2 QD  = 2 √OD² – OQ² —————-(II)
2√OD² -OP² < 2 √OD² – OQ² [ OP > OQ]
∴ AB < CD ( I और   II से )

अतः जिस जीवा का मध्य बिंदु P होगा , वह जीवा सबसे छोटी होगी।

 

वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3.2

(16) अति संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न। 

(A ) बहुविकल्पीय प्रश्न ( MULTIPLE TYPE QUESTION )

(i) O केंद्रीय वृत्त की AB और CD  दोनों जीवा सामान लम्बाई के है। 
 ∠ AOB = 60°  होने से  ∠COD का मान होगा। 
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(a) 40°  (b) 30°  (c) 60° (d) 90°
ANS . (C) ㄥCOD = 60°  

(II) किसी वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई 13 सेंटीमीटर और एक जीवा की लम्बाई 

10 से० मी ०  तो वृत्त केंद्र जीवा की  दूरी होगी। 

(a) 12.5  से०  मी ० (b) 12 से० मी०  (C) √69  से० मी० (d) 24 से० मी० 
²

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ANS . वृत्त  केंद्र से जीवा की दूरी (OP) = √OA² – AP²

=  √13² – 5² =  √169 – 25 =  √144 = 12 से०  मी०

(b) 12 से० मी०  ANS.

(III) O केंद्रयी वृत्त की AB और CD दो सामान जिवायें है।  O बिंदु से AB जीवा 

की दूरी 4 से०  मी० होने से CD जीवा की दूरी क्या होगी।  

(I) 2 से०  मी०  (II) 4 से०  मी०  (III) 6 से०  मी०  (IV) 8 से०  मी०
ANS . (II)  4 से०  मी० [ केंद्र से समान जिवायें बराबर दूरी [पर होती है। ]
(IV) AB एवं CD दो समानांतर जीवाओं में प्रत्येक की लम्बाई 16 से० मी० 
है , तो वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई 10 से०  मी०  होने से दोनों जीवाओं  के 
बीच की दूरी  होगी।  
(I) 12 से०  मी०  (II) 16 से०  मी०  (III) 20 से०  मी०  (IV) 5 से०  मी०
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SOLVE :- AB जीवा की दूरी केंद्र से OQ =  √OB² – QB²
=  √(10)² – (8)²² =  √100 – 64  =  √36
उसी प्रकार केंद्र से CD की दूरी  = 6 से० मी०
अतः दोनों जीवा के बीच की दूरी = 6 से० मी० + 6 से० मी०  = 12 से० मी०
ANS. (I ) 12 से० मी०
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(5) दो सम केंद्रीय  वृतों का केंद्र O है  कोई सरल रेखा एक वृत्त को A और B 
बिंदु पर एवं दूसरे वृत्त को C और D बिंदु पर काटती है।  AC = 5 से० मी० 
होने से BD की लम्बाई होगी –
(I) 2.5 से० मी० (II ) 5 से० मी० (III) 10 से० मी०  (IV) कोई भी नहीं। 
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SOLVE :-  दो सम केंद्रीय वृतों का केंद्र O है।
AC = 5  से० मी०  मनो छोटे वृत्त का त्रिज्या X  से० मी०  है।
OC = AC + AO ; OD = OB + BD
OC = OD
AC + AO = OB +BD
AC = BD = 5  से० मी०  [OA = OB ]
(b) 5  से० मी०  ANS .
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(B) सत्य या असत्य लिखे

(i) तीन समरेखीय बिंदु से गुजरने वाला एक वृत्त खींचा जा सकता है। [असत्य ]
(ii) ABCDA व ABCEA से वृत्त एक ही वृत्त है।                                [सत्य ]
(iii) O केंद्रीय वृत्त की AB एवं AC जिवायें , OA त्रिज्या के विपरीत स्थित है।
तो ∠OAB = ∠OAC                                                                       [सत्य ]
(IV) अर्द्धवृत की  अपेक्षा  छोटी अवधा में  स्थित कोण अधिक कोण होगा  [सत्य ]

(c) रिक्त स्थानों की पूर्ति करों :-

(i) O केंद्रीय वृत्त  की PQ  एवं RS दो जिवाओं की लम्बाई अनुपात 1:1 होने से
  ∠POQ  :  ∠ROS  =  ∠POQ :  ∠ROS = 1:1 
(II)  किसी वृत्त  की किसी जीवा का लम्ब समद्विभाजक केन्द्रगामी   होता है।
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(17)  संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न :-

(i) 10 से० मी० त्रिज्या के दो समान वृत्त यदि एक दूसरे को काटे एवं उनकी

उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई 12 से० मी० है दोनों वृतों के केंद्र के बीच की दूरि

 ज्ञात करें।

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ANS . माना दो समान वृतों का केंद्र A एवं S है।
उनका उभयनिष्ठ जीवा  BC =(12 से० मी० ) ∴  OB = 6 से० मी०
△ AOB में AO = √AB² – OB²
                        = √(10)² – (6)²
                        = √100 -36
                        = √64 = 8  से० मी०
∴ AS = 8 से० मी० + 8 से० मी० = 16 से० मी०   ANS .
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(II)   5 से० मी०  त्रिज्या वाले एक वृत्त की AB एवं AC दो समान जिवायें है।

वृत्त  केंद्र ABC त्रिभूज के बाहर स्थित  है AB = AC = 6 से० मी० होने से BC

 जिवा की लम्बाई ज्ञात करें।

 

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ANS . AB = AC = 6  से० , OA = OB = OC [वृत्त की त्रिज्या ]
माना AM= AX से० मी०  ∴ OM = OA  – AM = 5 – X से० मी०

Δ ABM में ,  BM²  = AB² – AM²

= (6)² – (X)² …………..I

पुनः Δ  OBM  में , BM² = OB² – OM²

=(5)² – (5-x)² ……….II

I और II से (6)² -x² = (5)² – (5-x)²

= 36 – x² = 25- (25- 10x +x²)

=36 – x² = 25 – 25+ 10x -x²

= – x² – 10x + X² = 25 – 25 -36

= -10x = -36

X= 36⁄10 = 3.6  सेमी०

∴ BM² =(6)² – (3.6)² = (6+3.6)  (6- 3.6)

BM² = 9.6 ×  2.4 = 23.04

∴ BM= √23.04 = 4.8 से० मी-०

∴ BC = √ 2 × BM = 2  × 4.8  से० मी-० = 9.6  से० मी-० ANS.

(3) O केंद्रीय वृत्त में  अब AB और CD दो जिवाओं की लम्बाई  समान  है।  ㄥAOB

= 60°  एवं CD = 6 से० मी० होने से वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई ज्ञात करे।

(3) O केंद्रीय वृत्त में अब AB और CD दो जिवाओं की लम्बाई समान है। ㄥAOB = 60° एवं CD = 6 से० मी० होने से वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई ज्ञात करे।
ANS . O केंद्र वाले वृत्त की दो जिवायें AB =CD है।  AB द्वारा केंद्र पर बना
ㄥAOB =60° अतः CD के द्वारा केंद्र पर बना ㄥCOD =60°
अब केंद्र पर जिवायें  यदि समान कोण बनाती हो तो
उनकी लम्बाई भी समान होगी
∴ AB = CD = 6 से०  मी०
△ OMD में SIN 30°  = MD / OD
    = 1⁄2  = 3⁄OD   ∴ OD = 6 से० मी०
    = 6 से० मी०  ANS .
वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3.2

(4) O केंद्रीय वृत्त के भीतर P कोई एक बिंदु है।  वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई 5

से० मी० एवं OP = 3 से० मी० होने से P कोई एक बिंदुगामी  जिस जीवा की

 लम्बाई  न्यूनतम होगी , उसे ज्ञात करें।

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हल :- माना जिस जीवा की लम्बाई न्यूनतम होगी , उस जीवा का मध्य बिंदु P होगा।
∴ जीवा AB = 2 AP
∴ AOP में AP  =  √(5)² – (3)²  =√25-9 = √16
                                                 = 4 से० मी०
                              ∴ AB = 2 ×  4 से० मी०  = 8 से० मी०  ANS .
(V) P और Q केंद्र वाले दो वृत्त A और B बिंदु पर काटते है। A बिंदु से होकर 
PQ के समानांतर सरल रेखा दोनों वृतों को क्रमशः C और D बिंदु पर काटती 
है। PQ = 5 से० मी०  होने से CD की लम्बाई ज्ञात करें। 
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हल:- PQ= MN…………I
CM = MA [M, CA का मध्य बिंदु है। ]
उसी प्रकार AM= MD [ QM ⊥ AD और M मध्य बिंदु है। ]

PQ = ½  ×  CD
∴ CD =  2PQ
  CD = 2  ×  5 से० मी०
∴ CD = 10  से० मी०   ANS.

(VI ) एक सरल रेखा दो एक केंद्रीय वृतों में  एक को A और B तथा दूसरे को

C और D बिंदुओं पर काटती  है प्रमाणित कीजिये कि एक  AC = BD

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हल:-  दिया गया है ,PQ सरल रेखा दो एक केंद्रीय वृतों को क्रमशः A और
B तथा C और D  बिंदुओं पर काटती है।
सिद्ध करना है कि AC = BD
प्रमाण :- वृत्त X में देखेंगे –
       OA = BD  ( एक ही वृत्त के अर्द्धव्यास है )————-( i)
       फिर वृत्त  Y में देखेंगे –
OC = OD ( एक ही वृत्त के अर्द्धव्यास  है ) ——————( II)
अब , समीकरण (II) से (I )  घटाने पर –
OC – OA = OD – OB
AC = BD    सिद्ध
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वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1 class-10 W.B BOARD

वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1
1) पास के  O  केंद्र बाले  वृत्त देखे एवं कौन से अर्द्ध व्यास  PAQ वृत्त क्षेत्र में  स्थित  है।

  हल – PAQ  वृत्त क्षेत्र में उपस्तिथ  अर्द्ध व्यास = OP, OA . OC ,और  OQ,  है।

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(2 ) निम्नलिखित रिक्त स्थानों को समझ कर भरे।

(i) एक वृत्त में _असंख्य _ बिंदु होते है।

(ii)वृत्त की वृहत्तम जीवा को _व्यास __ कहते है।

(iii ) जीवा वृताकार क्षेत्रों को दो भागों में बाटता है।

(iv) वृत्त के सभी व्यास केंद्र बिंदु गामी  है।

(v)दो वृतांश सामान होने से इनके वृत्त चाप दोनों की लम्बाई  बराबर होगा।

(vi) एक वृताकार क्षेत्र का वृत्त क्षेत्र वृतचाप एवं दोनों अर्धव्यासों  द्वारा सिमा बद्ध क्षेत्र होता है।

(vii) वृत्त के बाहर के किसी बिंदु व केंद्र को मिलाने वाले रेखाखण्डों  की लम्बाई अर्धव्यास से बड़ी होती है।

(3) स्केल व पेंसिल तथा कम्पास के सहायता से एक वृत्त बनाकर केंद्र , जीवा ,  व्यास , अर्धव्यास ,
लघुचाप  , वृहत्तचप , दिखाएँ।

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O  केंद्र
AB जीवा
 BC = व्यास
OB =OC = अर्धव्यास
लघुचाप = AKB
वृहत चाप = APB

4 सत्य या असत्य लिखे -:

(i) वृत्त  एक समतलिक चित्र है।                                                               [सत्य ]
(ii)वृतांश एक समतलीक क्षेत्र है।                                                             [सत्य ]
(iii)वृत्त क्षेत्र एक समतलीक  क्षेत्र है।                                                         [सत्य ]
(iv)जीवा एक सरल रेखा का भाग है।                                                        [सत्य ]
(v) चाप एक सरल रेखा का भाग है।                                                         [असत्य ]
(vi) किसी वृत्त में सीमित संख्यक सामान लम्बाई की जिवायें होती है।          [असत्य ]
(vii) किसी एक निश्चित बिंदु से केवल एक ही वृत्त खींचना संभव है।             [असत्य ]
(viii) दो सर्वसम वृतों के अर्द्धव्यास सामान होते है।                                     [सत्य ]
पेज संख्या -54  — सामान वृतों की सामान जिवाएँ सामान लम्बाई की चाप काटती है ,एवं केंद्र पर सामान कोण बनाती है।  ( स्वंय करे ) 
हल – O केंद्र वाले वृत्त में दो जिवायें AB और CD बराबर है , अर्थात AB = CD  तो सिद्ध करना है कि
ㄥAOB = ㄥCOD  तथा  AB = CD
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प्रमाण -Δ AOB  और  Δ COD  में
OA  =  OC [ एक ही वृत्त के अर्द्धव्यास है ]
OB = OD [ एक ही वृत्त के अर्द्धव्यास है। ]
AB =CD  कल्पना से
∴ ㅿ AOB  = ㅿCOD  [S.S.S ]
∴ ረ AOB = ረ COD
पुनः केंद्र पर के कोण बराबर है।  अतः ये बराबर चाप  द्वारा ही बनेंगे।
∴ AB = CD  सिद्ध (PROVED)
पेज संख्या -( 60 )-  प्रयोग (4) –
हम सर्वांगसमता की  शर्त (S -A -S ) का व्यवहार कर Δ OAD  व  △ OBD को सर्वांग प्रमाणित करते  हुए प्रमेय – 33 को सिद्ध करें (स्वंम करो )
SOLVE- माना O केंद्र वृत्त का एक जीवा AB है
जो व्यास नहीं है। AB का मध्य बिंदु  D  है।
अर्थात  AD = DB
 तो सिद्ध करना है कि OD ⏊ AB
रचना – O -A -, O – B और   O -B  को मिलाया
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प्रमाण -: Δ OAD  और Δ BPD  में
            OA =DB [एक ही वृत्त के अर्द्धव्यास  है ]
            AD = DB  [ D , AB  का मध्य बिंदु है। ]
            OD एक उभयनिष्ठ भूजा है।
         ∴ Δ OAD  ≅  Δ  ODB  [ S -S -S ] के अनुसार
         ∴  ㄥODA = ㄥODB  ——————- I
           AB एक सरल रेखा है।
          ㄥODA  + ㄥODB  = दो समकोण अर्थात 180°
          ㄥODA  + ㄥODB  = 180°
          2  ㄥODA  = 180°

         ∴  ㄥODA  = 90°

∴  OD ⏊ AB  सिद्ध

पेज संख्या -(61) – (प्रयोग -6 ) – 17  सेंटीमीटर लम्बे अर्द्धव्यास बाले वृत्त के जिस जीवा से केंद्र की दुरी 8 सेंटीमीटर है , उसकी लम्बाई निकाले (स्वंम करे )

ANS . माना O केंद्र बाले वृत्त में जीवा है AB   की केंद्र की  दूरी 8 सेंटीमीटर है तथा

वृत्त का अर्द्धव्यास  17 सेंटीमीटर है।  O से AB पर OC लम्ब डाला गया है।

वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1 class-10 W.B BOARD
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∴ AC= AB
___________         ______________
ߡ OAC  में AC = √ AO² – OC²       = √ (17)² – (8)²  C M

________        ____
AC= √ 289- 64      = √225   =  15 CM

∴ AB = 2 × 15 CM  = 30 CM  ANS.

PAGE NO- 62( प्रयोग – 8 ) 5 सेंटीमीटर लम्बी त्रिज्या बाले वृत्त में  8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर  लम्बी दो समानांतर जिवायें वृत्त केंद्र के विपरीत दिशा में स्थित है , तो दोनों जीवाओं के के बीच की दूरी ज्ञात करे। (स्वतः करें )

हल –माना O केंद्र बाले वृत्त में  AB और CD

वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1 class-10 W.B BOARD
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जिसकी  लम्बाई 6 सेंटीमीटर और  8 सेंटीमीटर है। केंद्र के विपरीत दिशा में है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेंटीमीटर है

रचना – O  से AB  एवं CD पर क्रमशः OP और OQ  लम्ब डाला गया है।

AP = 3 CM   , CQ =4 CM    ,  OA = 5 CM  ,  OC  = 5 CM

O – A  और   O -C  को मिलाया
_________       _______         ____
△ AOP में OP = √ OA²  – AP² = √  (5)² -(3)² = √ 16  = 4 CM

_________        _________
पुनः △ COQ  में OQ =  √ OC² – CQ²  =  √ (5)² – (4)²  =  √ 9 = 3 CM

दोनों जिवाओं के बिच की  दूरी  = OP + OQ = 4 CM  + 3 CM = 7 CM  ANS.

पेज -63 (प्रयोग -11 ) प्रमाण दे कि   किसी वृत्त की किसी जीवा के लम्ब  समद्विभाजक उस वृत्त के केंद्र से गुजरती है। 

वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1 class-10 W.B BOARD
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हल –  माना O केंद्र वाले वृत्त का जीवा AB  है।

जीवा AB  का लम्ब समद्विभाजक PQ  है , जो AB

को M  बिंदु पर समद्विभाजित  करता है।

अर्थात  M , AB  का मध्य बिंदु है। केंद्र बिंदु O  और मध्य बिंदु  M  को मिलाने  वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती

है।  अर्थात  OM  को लम्ब होना होगा।  किन्तु रचना से PQ  बिंदु   M  पर लम्ब है।   यह तभी संभव होगा जब PQ  और OM एक ही सरल रेखा में हो।

∴ जीवा का लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से गुजरती है।   Proved

वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1

पेज संख्या -63 (प्रयोग – 12 ) प्रमाणित करे कि किसी वृत्त को कोई सरल रेखा दो से अधिक बिंदु पर नहीं काट सकती। 

हल – किसी वृत्त का केंद्र  O  है।

माना  सरल रेखा वृत्त को दो से अधिक बिंदुओं पर काटती है।

ये बिंदु है – N , A  , Q  , P ,  B  , M  आदि।

हम जानते है कि वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं की दूरी वृत्त के  केंद्र से बराबर होती है , यह दूरी वृत्त के

अर्द्धव्यास के बराबर होती है।

वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1 class-10 W.B BOARD
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चित्र में   M   और  N  बिंदुओं वृत्त के बाहर है , अतः केंद्र से मिलाने वाली रेखा खंड अर्द्धव्यास से बड़ी होगी।

अर्थात OM > अर्द्धव्यास  OA  ;  तथा ON > OB अर्द्धव्यास।  Q और P  वृत्त अंदर है।  अतः केंद्र से इनकी दुरी

अर्द्धव्यास से काम होगी।  A और  B बिंदुओं की दूरी अर्द्धव्यास के बराबर है।

OA  = OB  = अर्द्धव्यास की लम्बाई।

अतः सरल  रेखा वृत्त को A  और  B बिंदुओं पर  काटती है।

अतः कोई सरल रेखा वृत्त को सिर्फ दो बिंदुओं पर ही काटती है।

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