वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3(2) class-10(W.B Board)
वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3(2) class-10(W.B Board)
वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3(2) class-10(W.B Board)
सेंटीमीटर है। PQ जीवा की लम्बाई ज्ञात करके देखें।
हल – यहाँ वृत्त पर केंद्र O , चापकर्ण PQ और व्यास PR है।
व्यास (PR) = 26 सेंटीमीटर
∴ अर्द्धव्यास OQ = ½ × 26 = 13 सेंटीमीटर
O से चापकर्ण PQ की दूरी 5 सेंटीमीटर है।
अतः O से PQ पर खींचे गए लम्ब OS की लम्बाई = 5 सेंटीमीटर
अब समकोण त्रिभूज OSQ में SQ² = OQ² – OS² = 13² – 5²
= 169 – 125 = 144
∴ SQ = √144 सेंटीमीटर = 12 सेंटीमीटर
∴ PQ = 2 × SQ = 2 × 12 = 24 सेंटीमीटर ANS .
(3) O केंद्र वाले वृत्त की कोई जीवा PQ की लम्बाई 4 सेंटीमीटर है
एवं O बिंदु से PQ की दूरी 2. 1 सेंटीमीटर है , तो वृत्त के व्यास की
व्यास की लम्बाई ज्ञात करके देखे।
(5) यदि किसी वृत्त की एक जीवा की लम्बाई 48 सेंटीमीटर एवं केंद्र से उस
जीवा की दूरी 7 सेंटीमीटर हो , तो उस वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी 20
सेंटीमीटर है। उस जीवा की लम्बाई ज्ञात करे।
माना O केंद्र वाले वृत्त में AB चपकर्ण की लम्बाई 48 CM तथा केंद्र O से
AB की दूरी OE = 7 सेंटीमीटर है। O से AB पर OE लम्ब है।
∴ समकोण △ OBE में OB² = OE²
या, OB² = (7)² + (24)²
या, OB² = 49 + 576
या, OB² = 625
∴ OB = √625 ± 25 सेंटीमीटर = 25 सेंटीमीटर
वृत्त का दूसरा चापकर्ण CD जो केंद्र से 20 सेंटीमीटर की दूरी पर है।
अर्थात केंद्र O से CD की लम्बत दूरी (F ) = 20 सेंटीमीटर
∴ समकोण △ OFC में CF² = OC² – OF² = 25² – 20² = 625 – 400
या,CF² = 225 वर्ग सेंटीमीटर
∴ CF = √225 सेंटीमीटर = 15 सेंटीमीटर
∴ चापकर्ण CD की लम्बाई = 2 × CF = 2 × 15 = 30 सेंटीमीटर ANS .
(6) पास के O केंद्र वाले वृत्त के चित्र में OP ⊥ AB ; AB = 6 सेंटीमीटर
एवं PC = 2 सेंटीमीटर होने से वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई ज्ञात करके देखे।
OP, चापकर्ण AB पर लंब है। PC = 2 से० मी ०
OA = OC = r
पुनः OA =OC = OP +PC
OA =OP + PC
∴ OP = OA – PC = r – 2 से ० मी ०
समकोण △ OPA में ,
OA² = OP² + AP²
या, r ² = (r – 2 )² +(3)²
या, r² = r² -4r +4 +9
या, r² – r² + 4r =13 से० मी ०
या, 4r =13 से० मी०
∴ r = 13⁄4 = 3. 25 से० मी०
वृत्त का अर्द्धव्यास (r )= 3. 25 से० मी० ANS .
वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3.2
(7) कोई सरल रेखा दो समकेंद्रीय वृतो में एक को A और B पर तथा दूसरे
को C और D बिंदु पर काटती है। युक्ति के साथ प्रमाणित करे कि AC =DB
पुनः CD वृत्त का चापकर्ण तथा OM , CD पर लम्ब है।
∴ CM =MD ———–( ii)
अब II से I घटाने पे
AM – CM =BM – MD
∴ AC = BD प्रमाणित
(8) प्रमाणित करे कि किसी वृत्त की परस्पर प्रतिच्छेदी जिवायें एक दूसरे को
समद्विभाजित नहीं कर सकती , जब तक कि दोनों वृत्त का व्यास ना हो।
(9) X व Y केंद्र वाले दो वृत्त एक दूसरे को A और B बिंदु पर काटते
है। XY के मध्य बिंदु S के साथ A बिंदु को मिलाया एवं A बिंदु से होकर
SA पर लम्ब डाला , जो दोनों वृतों P और Q बिंदु पर काटती है , तो
प्रमाणित करे कि PA = AQ
(10) O केन्द्र केंद्रीय वृत्त की दो सामानांतर जिवायें जिनकी लम्बाई
क्रमशः 10 से ० मी० एवं 24 से ० मी ० केंद्र के दो तरफ स्थित है।
यदि AB और CD जिवाओं की दूरी 17 से ० मी ० हो , तो वृत्त की
व्यासार्ध लम्बाई ज्ञात करें।
उसी प्रकार ∆ AOQ में OA² = OQ² = AQ² = (17 -X )² +(5)²
अब OC² = OA² [ ∴ OC = OA ]
X² + 144 = (17 – X )² + (5)²
= X² + 144 = 289 – 34X +X² + 25
= 34X = 289 =25 – 144 =314 – 144 =170
∴ X = 170⁄34 = 5 सेंटीमीटर
पुनः OC² = X² + (12)²
= (5)² + (12)²
= 25 +144
OC² =169
∴ OC = 169 = 13 से० मी० ANS .
(11) दोनों वृतों के केंद्र P एवं Q है तथा वे एक दूसरे को A और B पर काटते है।
A बिंदु से PQ सरल रेखा खंड के समानांतर सरल रेखा वृत्त को C और D दो बिंदुओं
पर काटती है , तो प्रमाणित करे DC = 2PQ .
(12) किसी वृत्त की AB और AC से जिवायें सामान है। प्रमाणित करे कि
ㄥ BAC की समद्विभाजक केन्द्रगामी होगी।
(13) यदि किसी वृत्त को परस्पर काटने वाली जिवायें द्वारा निर्मित का
समद्विभाजक रेखा केन्द्रगामी हो , तो प्रमाणित करे कि वो दोनों जिवाओं
की लम्बाई समान होगी
(14) प्रमाणित करे कि किसी वृत्त की दो जिवाओं में जो जीवा केंद्र से कम दूरी
पर होती है उसकी लम्बाई दूसरी जीवा से बड़ी होती है।
(15) किसी वृत्त के भीतर किसी बिंदु से गुजरने वाली क्षुद्रतम जीवा कौन सी होगी ?
प्रमाणित करके लिखे।
अतः जिस जीवा का मध्य बिंदु P होगा , वह जीवा सबसे छोटी होगी।
वृत्तसंबन्धित प्रमेय chapter-3.2
(16) अति संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न।
(A ) बहुविकल्पीय प्रश्न ( MULTIPLE TYPE QUESTION )
(II) किसी वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई 13 सेंटीमीटर और एक जीवा की लम्बाई
10 से० मी ० तो वृत्त केंद्र जीवा की दूरी होगी।
(a) 12.5 से० मी ० (b) 12 से० मी० (C) √69 से० मी० (d) 24 से० मी०
²
ANS . वृत्त केंद्र से जीवा की दूरी (OP) = √OA² – AP²
= √13² – 5² = √169 – 25 = √144 = 12 से० मी०
(b) 12 से० मी० ANS.
(III) O केंद्रयी वृत्त की AB और CD दो सामान जिवायें है। O बिंदु से AB जीवा
की दूरी 4 से० मी० होने से CD जीवा की दूरी क्या होगी।
(B) सत्य या असत्य लिखे
(c) रिक्त स्थानों की पूर्ति करों :-
(17) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न :-
(i) 10 से० मी० त्रिज्या के दो समान वृत्त यदि एक दूसरे को काटे एवं उनकी
उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई 12 से० मी० है दोनों वृतों के केंद्र के बीच की दूरि
ज्ञात करें।
(II) 5 से० मी० त्रिज्या वाले एक वृत्त की AB एवं AC दो समान जिवायें है।
वृत्त केंद्र ABC त्रिभूज के बाहर स्थित है AB = AC = 6 से० मी० होने से BC
जिवा की लम्बाई ज्ञात करें।
Δ ABM में , BM² = AB² – AM²
= (6)² – (X)² …………..I
पुनः Δ OBM में , BM² = OB² – OM²
=(5)² – (5-x)² ……….II
I और II से (6)² -x² = (5)² – (5-x)²
= 36 – x² = 25- (25- 10x +x²)
=36 – x² = 25 – 25+ 10x -x²
= – x² – 10x + X² = 25 – 25 -36
= -10x = -36
X= 36⁄10 = 3.6 सेमी०
∴ BM² =(6)² – (3.6)² = (6+3.6) (6- 3.6)
BM² = 9.6 × 2.4 = 23.04
∴ BM= √23.04 = 4.8 से० मी-०
∴ BC = √ 2 × BM = 2 × 4.8 से० मी-० = 9.6 से० मी-० ANS.
(3) O केंद्रीय वृत्त में अब AB और CD दो जिवाओं की लम्बाई समान है। ㄥAOB
= 60° एवं CD = 6 से० मी० होने से वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई ज्ञात करे।
(4) O केंद्रीय वृत्त के भीतर P कोई एक बिंदु है। वृत्त की त्रिज्या की लम्बाई 5
से० मी० एवं OP = 3 से० मी० होने से P कोई एक बिंदुगामी जिस जीवा की
लम्बाई न्यूनतम होगी , उसे ज्ञात करें।
(VI ) एक सरल रेखा दो एक केंद्रीय वृतों में एक को A और B तथा दूसरे को
C और D बिंदुओं पर काटती है प्रमाणित कीजिये कि एक AC = BD
वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1 class-10 W.B BOARD
वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1
1) पास के O केंद्र बाले वृत्त देखे एवं कौन से अर्द्ध व्यास PAQ वृत्त क्षेत्र में स्थित है।
हल – PAQ वृत्त क्षेत्र में उपस्तिथ अर्द्ध व्यास = OP, OA . OC ,और OQ, है।
(2 ) निम्नलिखित रिक्त स्थानों को समझ कर भरे।
(i) एक वृत्त में _असंख्य _ बिंदु होते है।
(ii)वृत्त की वृहत्तम जीवा को _व्यास __ कहते है।
(iii ) जीवा वृताकार क्षेत्रों को दो भागों में बाटता है।
(iv) वृत्त के सभी व्यास केंद्र बिंदु गामी है।
(v)दो वृतांश सामान होने से इनके वृत्त चाप दोनों की लम्बाई बराबर होगा।
(vi) एक वृताकार क्षेत्र का वृत्त क्षेत्र वृतचाप एवं दोनों अर्धव्यासों द्वारा सिमा बद्ध क्षेत्र होता है।
(vii) वृत्त के बाहर के किसी बिंदु व केंद्र को मिलाने वाले रेखाखण्डों की लम्बाई अर्धव्यास से बड़ी होती है।
(3) स्केल व पेंसिल तथा कम्पास के सहायता से एक वृत्त बनाकर केंद्र , जीवा , व्यास , अर्धव्यास ,
लघुचाप , वृहत्तचप , दिखाएँ।
4 सत्य या असत्य लिखे -:
∴ ㄥODA = 90°
∴ OD ⏊ AB सिद्ध
पेज संख्या -(61) – (प्रयोग -6 ) – 17 सेंटीमीटर लम्बे अर्द्धव्यास बाले वृत्त के जिस जीवा से केंद्र की दुरी 8 सेंटीमीटर है , उसकी लम्बाई निकाले (स्वंम करे )
ANS . माना O केंद्र बाले वृत्त में जीवा है AB की केंद्र की दूरी 8 सेंटीमीटर है तथा
वृत्त का अर्द्धव्यास 17 सेंटीमीटर है। O से AB पर OC लम्ब डाला गया है।
∴ AC= AB
___________ ______________
ߡ OAC में AC = √ AO² – OC² = √ (17)² – (8)² C M
________ ____
AC= √ 289- 64 = √225 = 15 CM
∴ AB = 2 × 15 CM = 30 CM ANS.
PAGE NO- 62( प्रयोग – 8 ) 5 सेंटीमीटर लम्बी त्रिज्या बाले वृत्त में 8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर लम्बी दो समानांतर जिवायें वृत्त केंद्र के विपरीत दिशा में स्थित है , तो दोनों जीवाओं के के बीच की दूरी ज्ञात करे। (स्वतः करें )
हल –माना O केंद्र बाले वृत्त में AB और CD
जिसकी लम्बाई 6 सेंटीमीटर और 8 सेंटीमीटर है। केंद्र के विपरीत दिशा में है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेंटीमीटर है
रचना – O से AB एवं CD पर क्रमशः OP और OQ लम्ब डाला गया है।
AP = 3 CM , CQ =4 CM , OA = 5 CM , OC = 5 CM
O – A और O -C को मिलाया
_________ _______ ____
△ AOP में OP = √ OA² – AP² = √ (5)² -(3)² = √ 16 = 4 CM
_________ _________
पुनः △ COQ में OQ = √ OC² – CQ² = √ (5)² – (4)² = √ 9 = 3 CM
दोनों जिवाओं के बिच की दूरी = OP + OQ = 4 CM + 3 CM = 7 CM ANS.
पेज -63 (प्रयोग -11 ) प्रमाण दे कि किसी वृत्त की किसी जीवा के लम्ब समद्विभाजक उस वृत्त के केंद्र से गुजरती है।
हल – माना O केंद्र वाले वृत्त का जीवा AB है।
जीवा AB का लम्ब समद्विभाजक PQ है , जो AB
को M बिंदु पर समद्विभाजित करता है।
अर्थात M , AB का मध्य बिंदु है। केंद्र बिंदु O और मध्य बिंदु M को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती
है। अर्थात OM को लम्ब होना होगा। किन्तु रचना से PQ बिंदु M पर लम्ब है। यह तभी संभव होगा जब PQ और OM एक ही सरल रेखा में हो।
∴ जीवा का लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से गुजरती है। Proved
वृत्तसंबन्धित प्रमेय CHAPTER -3.1
पेज संख्या -63 (प्रयोग – 12 ) प्रमाणित करे कि किसी वृत्त को कोई सरल रेखा दो से अधिक बिंदु पर नहीं काट सकती।
हल – किसी वृत्त का केंद्र O है।
माना सरल रेखा वृत्त को दो से अधिक बिंदुओं पर काटती है।
ये बिंदु है – N , A , Q , P , B , M आदि।
हम जानते है कि वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं की दूरी वृत्त के केंद्र से बराबर होती है , यह दूरी वृत्त के
अर्द्धव्यास के बराबर होती है।
चित्र में M और N बिंदुओं वृत्त के बाहर है , अतः केंद्र से मिलाने वाली रेखा खंड अर्द्धव्यास से बड़ी होगी।
अर्थात OM > अर्द्धव्यास OA ; तथा ON > OB अर्द्धव्यास। Q और P वृत्त अंदर है। अतः केंद्र से इनकी दुरी
अर्द्धव्यास से काम होगी। A और B बिंदुओं की दूरी अर्द्धव्यास के बराबर है।
OA = OB = अर्द्धव्यास की लम्बाई।
अतः सरल रेखा वृत्त को A और B बिंदुओं पर काटती है।
अतः कोई सरल रेखा वृत्त को सिर्फ दो बिंदुओं पर ही काटती है।