वृतस्थ-कोण-संबंधी-प्रमेय-7-3 CLASS -10(परीक्षण) W.B board
वृतस्थ-कोण-संबंधी-प्रमेय-7-3 CLASS -10(परीक्षण) W.B board
(1) प्रश्न – त्रिभुज ABC केए कोण B समकोण है । यदि AC को व्यास मान कर एक वृत बनाए , जो AB को D बिन्दु पर काटे तो निम्नलिखित तथ्यों में कोन सा सही है ।
(i) AB > AD (ii) AB = AD (iii) AB < AD
SOLVE – Δ ABC में ∠ B समकोण है । अत: AC कर्ण है । कर्ण के मध्य बिन्दु को केंद्र मान कर तथा कर्ण को व्यास मान कर वृत खिचा जाए , तो वह वृत होगा और
समकोण Δ ABC के तीनों शीर्ष बिन्दुओं से होकर गुजरेगा । अब A और C गुजरने वाला वृत यदि AB को D बिन्दु पर काटता है । तो AB=AD होगा ।
ANS (ii) AB = AD
चक्र वृद्धि व्याज के बारे में जानने के लिए CLICK HERE
(2) प्रश्न – प्रमाणित करें कि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के किसी भी समान भुजाओं को व्यास मान कर खिचा गया वृत असामान
भुजाओं को समद्विभाजित करेगा ।
SOLVE – माना Δ ABC एक समद्विबाहु Δहै । जिसमें AB = AC , AC को व्यास मान कर ADC एक वृत खिचा गया है , जो BC को D बिन्दु पर काटता है ।
तो सिद्ध करना है कि D, BC का मध्य बिन्दु अर्थात BD= AD
रचना – AD को मिलाया
प्रमाण – Δ ABC में AB = AC
∴ ∠ ABC = ∠ ACB
या, ∠ABD = ∠ACD
पुनः ∠ ADC अर्धवृत पर स्थित कोण है । अत: ∠ ADC = एक समकोण अर्थात 90॰
∴ ∠ADB = 90॰
अब समकोण Δ ABD और Δ ACD में
∠ ADB = ∠ ADC [ प्रत्येक 90॰ ]
∠ ABD = ∠ ACD
कर्ण AB = कर्ण AC AD उभयननिष्ठ है ।
∴ ΔABD ≅ Δ CDA
∴ BD = DC सिद्ध
(3) सहाना एक वृत बनाई है , जो एक दूसरे को P और Q बिन्दु पर काटते है । PA और PB क्रमश: दो वृत के व्यास होने से प्रमाणित
करे कि A , Q और B तीनों बिन्दु समरेखीय है ।
SOLVE – O और O1 केंद्र वाले दो वृत एक दूसरे को P और Q बिन्दु पर काटते है । PA और PB वृतों का व्यास है ।
तो सिद्ध करना है कि AQB एक रेखीय है ।
रचना – AQ , QB एवं PQ को मिलाया गया ।
प्रमाण – ∠PQA एवं ∠PQB अर्द्धवृत के कोण है ।
∴ ∠PQA = ∠PQB = 90॰
पुनः ∠ PQA + ∠ PQB
= 90॰ + 90॰ = 180॰
या, ∠AQB = 180॰
∴ A , Q , B एक रेखीय है । प्रमाणित ।
(4) रजत एक सरल रेखा खंड PQ बनाया है , जिसकी मध्य बिन्दु है एवं वह PR और PQ को व्यास मान कर दो वृत बनाया है । हम P
बिंदुगमी एक सरल रेखा खंड खिचें है । जो प्रथम वृत को S बिन्दु एवं द्वितीय वृत को T बिन्दु पर काटती है । प्रमाणित करें कि PS= ST .
SOLVE – PQ रेखा खंड का मध्य बिन्दु R है । PQ और PR को व्यास मान कर दो वृत खिचे गए है । जो वृतों को क्रमश: S और T बिन्दु पर काटती है । तो सिद्ध करना
है कि PS = ST .
रचना – SR और QT को मिलाया गया ।
प्रमाण – ∠ PSR और ∠ PTQ दोनों ही अर्द्धवृत पर स्थित कोण है ।
∠ PSR = ∠ PTQ = 90॰
∴ SR ∥ TQ
Δ PTQ में SR ∥ TQ एवं R PQ का मध्य बिन्दु है ।
∴ ST PT का मध्य बिन्दु है ।
अर्थात PS = ST सिद्ध
(5) किसी वृत पर तीन बिन्दु P , Q और R स्थित है । PQ एवं PR के ऊपर P बिन्दु पर खिचा गया दो लम्ब क्रमश: वृत को S और T बिन्दु पर
काटते है । प्रमाणित करें कि RQ = ST
SOLVE – वृत पर P , Q , R तीन बिन्दुए है । PQ और PR को P बिन्दु पर क्रमश: दो लंब PS और PT खिचें गए है । जो वृत को S और T बिन्दु पर काटते है । तो प्रमाणित
करना है कि RQ = ST
रचना – QR , RT और ST को मिलाया ।
प्रमाण – Δ PQS में ∠ QPS = 90॰
∴ ∠ QPS अर्द्धवृत का कोण है ।
∴ QS वृत का व्यास है ।
पुनः Δ PRT में ∠ RPT = 90॰
∴ ∠ RPT अर्द्धवृत का कोण है ।
∴ RT वृत का व्यास है ।
ΔOST और Δ ORQ में
OT = OR [ एक ही वृत के अर्द्धव्यास है । ]
OS = OQ [ एक ही वृत के अर्द्धव्यास है । ]
∠ SOT = ∠ ROQ [ सम्मुख कोण है । ]
∴ ΔOST ≅Δ ORS ∴ ST = QR PROVED
(6) ABC एक समकोणीय त्रिभुज है । त्रिभुज ABC के परिवृत का व्यास AP है । BE और CF क्रमश: AC और AB भुजा पर लंब है एवं वे
एक दूसरे को Q बिन्दु पर काटती है । तो प्रमाणित करें कि BPCQ एक समानान्तर चतुर्भुज है ।
SOLVE – Δ ABC समान कोणिक अर्थात समबाहु Δ है ।
CF ⊥ AB तथा BE ⊥ AC अत: कटान बिन्दु Q परिवृत का केंद्र होगा । AP व्यास है । अत: AP, BC पर लंब होगा । BC को M बिन्दु पर समद्विभाजित करता है ।
अर्थात BM = MC
AM मध्यमा है । AQ : QM = 2:1
AQ = 2 ∴ QM = ½ AQ QM 1
पुनः AQ = PQ ∴ QM = ½ PQ
∴ QM = MP
अब चतुर्भुज BPCQ में
BM = MC और QM = MP
परिवृत का केंद्र Q है ।
∴ AQ , BQ , CQ क्रमश: ∠ A , ∠B और ∠C का समद्विभाजक है ।
∴ ∠ BAP = ∠ CAP ———————–(I)
BP द्वारा परिधि पर बना ∠ BAP और ∠BCP है ।
∴ ∠BAP = ∠CAP ————————-(II)
PC द्वारा परिधि का कोण ∠ CAP और ∠CBP है ।
∠CBP = ∠CAP ————————-(III)
I , II , और III से ∴ ∠BCP = ∠ CBP
Δ BEC और Δ BFC में
∠ BFC = ∠BEC = 90॰
∠FBC = ∠ACB
∠BCF = ∠ CBF —————-(I)
∠BCP + ∠ BCF = ∠CBP + ∠ CBE
∴ ∠PBQ = ∠PCQ
चतुर्भुज BOCQ में आमने -सामने के कोण बराबर और विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते है ।
अत: BPCQ एक समानान्तर चतुर्भुज है ।
(8) AB एवं CD किसी वृत के दो व्यास है , प्रमाणित करे की ACBD एक आयत है ।
SOLVE – AB और CD वृत के दो व्यास है ।
तो प्रमाणित करे कि ABCD एक आयात है ।
वृत का केंद्र AB और CD का कटान बिन्दु O है ।
∴ OB = OA ; OC =OD
AB और CD विकर्ण है और वे एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते है । ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है ।
CAD , ∠ ACB , ∠CBD , और ∠BDA सभी अर्द्धवृत के कोण है ।
अत: प्रत्येक 90॰ है ।
समानतर चतुर्भुज ABCD में हर एक कोण 90॰ है ।
अत: ABCD एक आयत है । प्रमाणित
(9) प्रमाणित करें कि किसी समचतुर्भुज की भुजाओं को व्यास मान कर खिचें गए वृत एक निद्रिष्ठ बिन्दु से गूजरेगा ।
SOLVE – ABCD एक समचतुर्भुज है ।
AB = BC = CD = DA
∴ AMD चाप पर M बिन्दु की किसी भी स्थिति के लिए AD के स्थिति में कोई परिवर्तन नहीं होगा , अत: किसी भी हालत में AD को व्यास मान कर वृत को खिचने से वृत M बिन्दु
से होकर गुजरेगी । उसी प्रकार ABM चाप BCM चाप या CDM चाप पर प्रत्येक हालत में वृत खिचने पर प्रत्येक वृत M बिन्दु से गुजरेगी । अत: समचतुर्भुज की भुजाओं को
व्यास मान कर वृत खिचने का एक निद्रिष्ट बिन्दु से होकर गुजरेगा । PROVED .
( 10) VERY SHORT ANSWERS .
(i) MULTIPLE CHOICE QUESTION
(1) O केन्द्र्यी वृत का PQ एक व्यास है एवं PR = RQ है , ∠RPQ का मान का मान होगा ।
(a) 30॰ (b) 90॰ (c) 60॰ ( d) 45॰
SOLVE – PR = PQ तथा Q व्यास है ।
∠ PRQ अर्द्धवृत का कोण है ।
∴ ∠ PRQ = 90॰
Δ PRQ में PR – RQ
∴ ∠RPQ = ∠RQP
∴ ∠ RPQ + ∠RPQ +90॰ = 180॰ [ ∴ ∠ RPQ = ∠ RQP ]
= 2 ∠RPQ = 90॰
∴ ∠RPQ = 45॰
ANS (d) 45॰
( ii) QR किसी वृत की जीवा है । POR वृत का एक व्यास है । OD , QR पर लम्ब है । OD= 4 से० मी० होने से PQ की लंबाई होगी ।
(a) 4 से० मी० (b) 2 से० मी० (c) 8 से० मी० (d) कोई भी नहीं ।
SOLVE – POR वृत का एक व्यास है ।
∴ ∠PQR = 90॰
पुनः OD ⊥ QR
∴ ∠ ODR = 90॰
∴ OD ।। PQ .
Δ PQR में , O , PR का मध्य बिन्दु और D , QR का मध्य बिन्दु है ।
∴ PQ = 2OD = 2 × 4 से० मी० = 8 से० मी०
ANS । (C) 8 से० मी० ।
(iii|) AOB वृत का व्यास है । AC और BD जीवाएं बढ़ाने पर एक दूसरे को E बिन्दु पर काटती है । ∠ COD = 40० होने से ∠CED का मान होगा ।
(a) 40० (b) 80० (C) 20॰ (c) 70०
SOLVE – एक ही चाप CD द्वारा केंद्र का कोण ∠ CAD और परिधि का कोण ∠ CAD है ।
∴ ∠CAD = ½ ∠ CAD = ½ × 40॰ = 20॰
पुनः ∠ADB अर्द्धवृत का कोण है । ∠ADB = 90॰
∴ ∠ADE = ∠ADB = 90॰
अब Δ ADE से ∠AED या ∠CED = 180॰ – ( 90॰ + 20॰ )
= 70॰
ANS . (d) 70॰
(iv) AOB वृत का व्यास है । AC = 3 से ० मी० BC = 4 से ० मी० होने से AB की लंबाई होगी ।
(a) 3 से० मी0 (b) 4 से० मी0 (c) 5 से० मी० (d) 8 से० मी०
SOLVE – ∠ ACB अर्द्धवृत में स्थित कोण है ।
∴∠ ACB = 90॰
समकोण Δ ACB में
AB² = AC² + BC²
AB² = (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25
∴ AB = ± √25 = ± 5 से॰ मी॰
ANS . (c) 5 से० मी०
(v) पास के चित्र में O वृत का केंद्र है एवं AB एक व्यास है । ∠BCE = 20॰ , ∠ CAE =-25॰ होने से ∠ AEC का मान क्या होगा ?
(a) 50॰ (b) 90॰ (c) 45॰ (d ) 20॰
SOLVE – वृत में AB व्यास है ।
∠ ACB और ∠ AEB = 90॰
चाप BE द्वारा परिधि पर के बने ∠ BCE और ∠ BAE ।
∴ ∠BAE = ∠ BCE = ∠BCE = 20॰
अब ∠BAC = 25॰ + 20॰ = 45॰
∠BAC + ∠BEC = 180॰ [ चक्रयी चतुर्भुज के आमने सामने के कोण संपूरक होते है । ]
∴ ∠ BEC = 180॰ – ∠ BAC
= 180॰ – 45॰ = 135॰
∴ ∠AEC = ∠BEC – ∠ AEB = 135॰ – 90॰ = 45॰
ANS. (C) 45॰
(2) सत्य या गलत लिखे ।
(i) अर्द्धवृत से बड़े वृतांश में स्थित कोण स्थूल कोण या अधिक कोण होता है । ( गलत )
(ii) ABC त्रिभुज की AB भुजा का मध्य बिन्दु O है एवं OA = OB = OC है , तो AB को व्यास मान कर खिचा गया वृत C बिन्दु से होकर गुजरेगा । ( सत्य )
(3) रिक्त स्थान की पूर्ति करें -:
(i) अर्द्धवृतस्थ कोण __________ होता है ।
उत्तर – समकोण
ii) अर्द्धवृत से छोटे वृतांश में स्थित कोण ________ होता है ।
उत्तर – अधिक कोण
(iii) समकोण त्रिभुज के कर्ण को व्यास मान कर खिचा गया मध्य वृत _______ से होकर जाएगा ।
उत्तर – शीर्ष बिन्दुओं
(11) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न -:
(i) समद्विबाहु त्रिभुज ABC में AB = AC है । AB भुजा को व्यास मान कर वृत खिचने से वृत BC भुजा को D बिन्दु पर काटता है । अगर BD = 4 से० मी0
हो तो, CD की लंबाई ज्ञात कारों ।
SOLVE – Δ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है । AB= AC
AB भुजा को व्यास मान कर खिचा गया वृत
BC को D बिन्दु पर काटता है ।
BD = 4 से ॰ मी ॰ CD = ?
रचना – AD को मिलाया
प्रमाण – ∠ADB अर्द्धवृत का कोण है है ।
∴ ∠ADB = 90॰
अब समकोण Δ ADB ΔADC में
AB = AC कल्पना से
AD अभयनिस् ठ है ।
∠ADB = ∠ADC = 90॰
∴ Δ ABD ≅ Δ ACD
∴ BD = CD = 4 से० मी0 ANS .
(ii) किसी वृत के दो जीवाएं AB और AC एक दूसरे पर लम्ब है । AB = 4 से० मी0 व AC= 3 से० मी0 होने से वृत के अर्द्धव्यास की लंबाई
ज्ञात करें ।
SOLVE – AB और AC दो दो जीवाएं एक दूसरे पर लम्ब है अर्थात ∠BAC = 90॰
वृत में स्थित 90॰ का कोण अर्द्धवृत का कोण होगा ।
∴ Δ ABC में BC व्यास है ।
Δ ABC में BC² = AB² + AC²
= (4)² + (3)² = 16 + 9 = 25 वर्ग से० मी0
∴ BC = √25 = 5 से॰ मी॰
∴ वृत का अर्द्धव्यास = 5/2 = 2.5 से० मी॰
(iii) किसी वृत की दो जीवाएं PQ और PR परस्पर लम्ब है । वृत की अर्द्धव्यास की लम्बाई r से० मी0
होने से QR जीवा की लंबाई ज्ञात करें ।
SOLVE- PR और PQ दो जीवाएं एक दूसरे पर लम्ब है ।
अर्थात ∠RPQ = 90॰
∴ ∠RPQ , अर्द्धवृत में स्थित होगा ।
∴ RQ वृत का व्यास है ।
∴ RQ = 2 × r = 2r से॰ मी० [ वृत का अर्द्धव्यास = r]
(iv) AOB किसी वृत का व्यास है । C वृत पर स्थित एक बिन्दु है । ∠OBC = 60॰ होने से ∠OCA का मान ज्ञात करें ।
SOLVE – AOB किसी वृत का व्यास है ।
∠OBC = 60॰
ΔOBC में OB = OC [ एक ही वृत का अर्द्धव्यास है ।
∴ ∠OBC = ∠OCB = 60॰
अब ∠ACB अर्द्धवृत का कोण है ।
∴ ∠ACB = 90॰
∠ACO + ∠BCO = ∠ACB
∠ACO + ∠ BCO = ∠ACB
∠ACO +60॰ = 90॰
∴ ∠ACO + 60॰ = 90॰
∴ ∠ACO = 30॰ या , ∠ OCA = 30॰ ANS
(v) पास के चित्र में O वृत का केंद्र एवं AB उसका व्यास है । जीवा CD की लंबाई वृत के अर्द्धव्यास के समान है ।AC और BD को बढ़ाने पर
एक दूसरे को P बिन्दु पर काटती है । तो, ∠APB का मान ज्ञात करें ।
SOLVE – CD वृत के अर्द्धव्यास के बराबर है ।
Δ OCD में OC = CD = OD
∴ प्रत्येक कोण 60॰ है ।
∠ OCD = ∠ODC = ∠COD = 60॰ …………….. (i)
Δ AOC में OA = OC
∴ ∠OBD = ∠ODB = Y॰ (माना)
चतुर्भुज ABCD में ,
∠A + ∠C +∠D +∠B = 360॰
X॰ + (X+60॰ ) + (Y + 60॰ ) + Y॰ = 360॰
2X + 2Y + 120॰ = 360॰
2(X +Y )= (360-120 ) =240॰
∴ X+Y = 120॰
अब Δ APB में ∠APB = 180॰ – (X+Y ) = 180॰ – 120॰
= 60॰ ANS .