एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)class-10(W.B Board)

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)class-10(W.B Board)

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3) class-10(W.B Board) 1. दो धनात्मक

अखण्ड संख्याओं का अंतर 3 है एवं  उनके वर्गों का योग  117 हैं, तो दोनों संख्याओं को पता करे ।

Ans. माना छोटी संख्या  x है ।

∴ बड़ी संख्या =x+3

प्रश्नानुसार  , x²+(x+3)²=117

x²+x²+6x+9=117

=2x²+6x+9-117=0

=2x²+6x-108=0

=2(x²+3x-54)=0

2≠0  ∴x²+3x-54=0

=x²+9x-54=0

=x(x+9)-6(x+9)=0

=(x+9)(x-6)=0

यदि x+9=0    अथवा x-6=0

∴x=-9  ∴x=6

x≠-9       क्योंकि  x धनात्मक संख्या है ।

छोटी संख्या  =6, बड़ी संख्या =6+3=9 उत्तर ।

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(2). किसी त्रिभुज के आधार की लम्बाई उसकी ऊँचाई  की दुगुनी की अपेक्षा 18

मीटर अधिक है ।त्रिभुज का क्षेत्रफल 360 वर्ग मीटर होने से उसकी ऊँचाई पता करे ।

Ans.  माना  Δ  की ऊँचाई  x  मीटर है ।

∴   आधार =(2x+18)मीटर

  अब  Δ  का क्षेत्रफल  = 360 वर्ग मीटर

=½×आधार ×ऊँचाई = 360 वर्ग मीटर

=½×(2x+18)×x=360 वर्ग मीटर

=½×2(x+9)×x=360 वर्ग मीटर

=(x+9)(x)=360 वर्ग मीटर

=x²+9x-360=0

=x²+24x-15x–360=0

=x(x+24)-15(x+24)=0

=(x+24)(x-15)=0

यदि  x+24=0    ∴x=-24

ऊँचाई ऋणात्मक नहीं होगा ।

अथवा  x-15=0

∴x=15

∴Δ कि ऊँचाई =15 मीटर  Ans.

(3). एक धनात्मक पूर्ण संख्या का पांच गुणा उसके वर्ग के दो गुणा से

3 कम है , तो संख्या बताएं 

Ans. माना धनात्मक पूर्ण संख्या  x है ।

प्रश्नानुसार 5x=2x²-3

=2x²-5x-3=0

=2x²-6x+x-3=0

=2x(x-3)+1(x-3)=0

=(x-3)(2x+1)=0

यदि 2x+1=0   अथवा ∴  x-3=0

∴x=-¹/₂

x≠-¹/₂

x, धनात्मक अखण्ड संख्या है ।   ∴x=3 Ans.

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एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

(4). दो स्थानों के बीज की दूरी 200 किलो मीटर है ।एक स्थान से दूसरे स्थान

तक एक मोटर गाड़ी से जाने में जितना समय लगता है ।मोटर गाड़ी की अपेक्षा

जीप गाड़ी का वेग यदि 5 किलो मीटर/ घंटा अधिक हो, तो मोटर गाड़ी का वेग

कितना है ? हिसाब करके लिखें ।

माना मोटर गाड़ी का वेग x  km/hr है ।

∴जीप गाड़ी का वेग   =(x+5)km/hr है।

मोटर गाड़ी व्दारा 200 km तय करने में लगा समय

=²⁰⁰/x घंटा

जीप गाड़ी व्दारा  200 km तय करने में लगा समय

=²⁰⁰/x+5 घंटा

प्रश्नानुसार  ²⁰⁰/x – ²⁰⁰/x+5 = ²/₁

=200x+1000-200x/x(x+5)=²/₁

=¹⁰⁰⁰/x²+5x=²/₁

=⁵⁰⁰/x²+5x=¹/₁

=x²+5x=500

=x²+5x-500=0

x²+25x-20x-500=0

=x(x+25)-20(x+25)=0

∴(x+25)(x-20)=0

यदि  x+25=0  अथवा  x-20=0

∴x=-25  ∴x=20

x≠-25

मोटर गाड़ी का वेग =20km/hr Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण

(5). अमित की आयताकार जमीन का क्षेत्रफल 2000 वर्ग मीटर एवं उसकी

परिसीम 180 मीटर है, तो अमित के अआयताकार जमीन की लम्बाई और चौड़ाई निकाले ।

Ans.  माना आयताकार जमीन की लम्बाई =x मीटर है ।

जमीन की परिसीमा = 2(लम्बाई +चौड़ाई)=180 मीटर

= लम्बाई +चौड़ाई =90 मीटर

∴  चौड़ाई  =(90-x) मीटर

प्रश्नानुसार   x(90-x)=2000 वर्ग मीटर

=90x²-x²=2000

=x²+90x-2000=0

=x²-90x+2000=0

=x²-50x-40x+2000=0

=x(x-50)-40(x-50)=0

=(x-50)(x-40)=0

∴x=50     ∴x=40m

लम्बाई (x)=50 मीटर होने पर चौड़ाई  (90-50)=40 मीटर

लम्बाई (x)=40 मीटर होने पर चौड़ाई  (90-40)=50 मीटर

50 मिटर  ,     40 मीटर  Ans.

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

(6).दो अंकों की एक संख्या का दहाई का अंक ईकाई के अपेक्षा 3 कम है ।

संख्या से उनके गुणनफल को घटाने से वियोगफल 15 प्राप्त होता है ।संख्या

का इकाई अंक पता करें ।

Ans.  माना ईकाई का अंक x है ।

∴ दहाई का अंक =(x-3)

संख्या   =10(x-3)+x=11x-30

प्रश्नानुसार  (11x-30)-x(x-3)=15

=11x-30-x²+3x-15=0

= -x²+14x-45=0

=x²-14+45=0

=x²-9x-5x+45=0

=x(x-9)-5(x-9)=0

∴(x-9)(x-5)=0

यदि x-9=0    अथवा  x-5=0

∴x=9  ∴x=5

x=9 होने पर संख्या  =11×9-39=69

x=5 होने पर संख्या  11×5-30=25

68  अथवा  25 उत्तर

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

(7).हमारे  स्कूल के होज में दो नल लगे है । दोनों  नलों व्दारा हौज़  11¹/₉ मिनट

में भर जाता है । दूसरे नल को पहले की अपेक्षा 5 मिनट कम समय लगता है ।प्रत्येक

नल होज को कितने समय में अलग-अलग भर देंगे ? हिसाब करके लिखें ।

उत्तर: माना पहला  नल x मिनट में  1  हौज़ भरता है ।             ∴1    मिनट में हौज़ का ¹/x भाग भरता है ।

∴ दूसरा नल (x-5) मिनट में  1 हौज़ भरेगा                      ∴1  मिनट में हौज़ का  ¹/x-5 भाग भरता है ।

1 मिनट में दोनों नल द्वारा हौज़ का भरा भाग = ¹/x+¹/x-5

दोनों नल 11¹/₉  अर्थात  ¹⁰⁰/₉   मिनट  1 हौज़ भरता है ।

∴1 मिनट में हौज़ का  ⁹/₁₀₀ भाग भरता है ।

प्रश्नानुसार, ¹/x+ ¹/x-5=9/100

=x-5+x/x(x-5)=⁹/₁₀₀

=2x-5/x²-5x=⁹/₁₀₀

=9x²-45x=200x-500

=9x²⁻45x-200x+500=0

=9x²-245x+500=0

=9x²-225-20x+500=0

9x(x-25)-20(x-25)=0

∴(x-25)(9x-20)=0

यदि x-25=0   अथवा  9x-20=0

∴ x=25  ∴x=²⁰/₉

x≠²⁰/₉  समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है ।

पहले नल व्दारा  25 मिनट में भरता है ।

तथा दूसरा नल  (25-5)    अर्थात  20 मिनट में भरता है ।

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(8).पर्णा और पियूष एक साथ एक काम को 4 दिन में करता है ।अलग-अलग काम

करने में पर्णा को जो समय लगेगा पियूष को उसके अपेक्षा 6 दिन अधिक समय लगता

है ।पर्णा अकेले कितने दिनों में काम खत्म कर पायेगी  ? हिसाब करके लिखें ।

Ans.  माना पर्णा को अकेले काम करने में x दिन  लगता है ।

∴ पियूष को अकेले  उसी काम को करने मेंं =(x-6) दिन

लगेगा दोनों मिलकर उस काम को  4 दिन में करता है ।

∴ दोनो का 1  दिन का काम   =¹/₄ भाग

अब पर्णा का 1  दिन का काम =¹/x भाग

पियूष का 1 दिन का काम  =¹/x+6 भाग

प्रश्नानुसार ¹/x+¹/x-6=¹/₄

=x+6+x/x(x+6)=¹/₄

=2x+6/x²+6x=¹/₄

=x²+6x=8x+24

=x²+6x-8x-24=0

=x²-2x-24=0

=x²-6x+4x-24=0

=x(x-6)+4(x-6)=0

∴(x-6)(x-4)=0

यदि x-6=0   अथवा x+4=0

∴x=6    ∴x≠-4

x≠-4

पर्णा अकेले उसे  6   दिन में करेगी  Ans.

(9).कलम का मूल्य प्रति दर्जन 6 रूपये कम करने से  30 रूपये में 3 अधिक

कलम खरीदी जी सकती है । मूल्य कम करने से पहले कलम का प्रति दर्जन

मूल्य कितना था ?

उत्तर: माना मूल्य कम करने से पहले कलम का प्रति दर्जन मूल्य  =x रूपया है ।

∵   x  रुपये में  1 दर्जन अर्थात  12 कलम मिलता है ।

∴ 1 रु में 1 दर्जन अर्थात 12 कलम की संख्या =¹²/x कलम

∴30 रुपये में 1 दर्जन अर्थात =¹²/x×30=³⁶⁰/x  कलम –i

अब कलम का मूल्य 6 रुपये कम हो जाने पर एक दर्जन

अर्थात 12 कलम का मूघ=(x-6) रुपये

∵ x-6 रुपये में 12 कलम

∴1  रुपया में ¹²/x-6 कलम

∴30  रुपये में   ¹²*³⁰/x-6=³⁶⁰/x-6    कलम  –ii

प्रश्नानुसार  ³⁶⁰/x-6 – ³⁶⁰/x =3

=360x-360x+2160/(x-6)(x)=³/₁

=²¹⁶⁰/ₓ²-6x=³/₁

=x²-6x=720

=x²-6x-720=0

=x²-30x+24x-720=0

=x(x-30)+24(x-30)=0

∴(x-30)+24(x-30)=0

∴(x-30)(x+24)=0

यदि x-30=0    अथवा   x+24=0

∴ x=30     ∴ x=-24

कलमों का मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता ।

मूल्य कम करने से पहले कलम का प्रति दर्जन मूल्य =30 रुपये

Ans. 30 रुपये

(10). अति संक्षिप्त प्रश्न(एक चर वाले द्विघात समीकरण )

(A)बहुविकल्पि प्रश्न

(i)एक द्विघात समीकरण के मूलो की संख्या

(a) एक (b) दो (c)  तीन  (d)कुछ भी नहीं

Ans.(b)दो

 

(ii) ax²+bx+c=0 द्विघात समीकरण होने से ।

(a)b≠0  (b) c≠0 (c) a≠0 (d) कुछ भी नहीं ।

Ans.(c)a≠0

(iii) एक द्विघात समीकरण के चर के घातों की उच्चारण संख्या

(a)1  (b)2  (c)3  (d) कुछ भी नहीं ।

Ans.(b) 2

(iv)4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3) समीकरण

(a) रेखिक (b) द्विघात (c) त्रिघात(d) कुछ भी नहीं ।

Ans.(a) रखिक

(v) x²/x=6 समीकरण के मूल/दो मूल

(a)0   (b)6   (c)0   6 (d) -6

Ans.(c) 0  6

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

(B) निम्नलिखित विवरणों सत्य है या असत्य लिखें ।

(i) (x-3)²=x²-6x+9 एक व्दिघात समीकरण है।

(ii)x²=25 समीकरण का एक मूल 5 है ।

Ans. (i) गलत  (ii) गलत

(c)शून्य स्थानों की पूर्ति करे :-

(i)   ax²+bx+c=0 समीकरण में  a=0 एवं  b≠0 तो यह समीकरण एक________समीकरण है ।

Ans. रेखिक

 

(ii) यदि किसी द्विघात समीकरण के दो मूल एक 1 हो, तो समीकरण ________है।

Ans. x²-2x+1=0

(iii) x²+ax+3=0 समीकरण का एक मूल 1 है , तो समीकरण में a का मान निर्णय करें।

Ans. x²+ax+3=0 समीकरण का एक मूल 1 है ।

अतः x=1 रखने पर शेष शून्य होगा ।

(1)²+a(1)+3=0

=1+a+3=0

=a+4=0

a=-4  Ans.

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(ii) x²-(2+b)x+6=0 समीकरण का एक मूल 2 होने से दूसरे मूल का मान क्या होगा?

Ans. x²-(2+b)x+6=0 का एक मूल 2 हैं ।अतः x=2 रखने पर शून्य होगा ।

=(2)²-(2+b)×2+6=0

=4-(4+2b)+6=0

=4-(4+2b)+6=0

=4-4-2b+6=0

=-2b=-6

=∴ b=-6/-2

अब  b=3 समीकरण में रखने पर पर्याप्त व्दिघात समीकरण

x²-(2+b)+6=0

=x²-(2+3)×6=0

=x²-5x+6=0

=x²-3x-2x+6=0

=x(x-3)(x-3)=0

∴(x-3)(x-2)=0

यदि x-3=0 अथवा   x-2=0

∴x=3    ∴x=2

अतः दूसरा मूल =3 है।

(iii) 2x²+kx+4=0 समीकरण का एक मूल 2 होने से दूसरे मूल का मान क्या होगा?

Ans. 2x²+kx+4=0 का एक मूल 2 हैं।

∴  x=2 रखने पर

=2(2)²+k(2)+4=0

=8+2k+4=0

=2k+12=9

∴ k=-12/2= -6

अब  k= -6 रखने पर समीकरण

= 2x²+(-6)x+4=0

=2x²-6x+4=0

=2(x²-3x+2)=0

2≠0,  x²-2x-x+2=0

=x(x-2)-1(x-2)=0

=(x-2)(x-1)=0

x-2=0     x-1=0

∴x=2   ∴x=1

दूसरा मूल  1 है।

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

(iv) एक सरल भिन्न और उसके प्रतिलोम का अंतर 9/20 होने से समीकरण को लिखें ।

∴  भिन्न का प्रतिलोम (Reciprocal)=1/x

प्रश्नानुसार   x-1/x=9/20

=x²-1/x=9/20

=x²-1/x=9/20

=20x²-20=9x

=20x²-9x-20=0 Ans.

(v) ax²+bx+35=0 समीकरण का दोनों  मूल  -5 व -7 है

तो aऔर b का मान क्या होगा ?

उत्तर:-ax²+bx+35=0 के दो मूल -5 व-7है।                    ax²+bx+35=0 के दो मूलो का योगफल =(-5)+

(-7)=-12

दोनों मूलों का गुणनफल =(-5)×(-7)=35

अतः द्विघात समीकरण =x²-( दोनों मूलों का योगफल  )x+                                                (मूलों का गुणनफल  )=0

=x²-(-12)x+35=0

=x²+12x+35=0

अब ax²+bx+35=x²+12x+35

∴a=1,   b=12 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

प्रयोग (21)  हम दूसरे रूप में अर्थात 5x²+23x+12=0 द्विघात समीकरण के

बाएँ और दाएँ पक्ष में 5 से गुणा करके समीकरण को पूर्ण वर्गाकार पद्धति से दोनों

मूल निकालने ।

Ans. 5x²+23+12=0

दोनों तरफ 5 से गुणा करने पर

25x²+115x+60=0

=(5x²)+2(5x)ײ³/₂+(²³/₂)²-(²³/₂)+60=0

=(5x+²³/₂)²-⁵²⁹/₄+⁶⁰/₁=0

=(5x+²³/₂)² -²⁸⁹/₄=0

=(5x+²³/₂)² -(¹⁷/₂)²=0

=(5x+²³/₇+¹⁷/₂)(5x+²³/₂ – ¹⁷/₂)=0

=(5x+20)(5x-3)=0

=5(x+4)(5x-3)=0

5≠0   (x+4)(5x-3)=&

या तो x+4=0  ,    या  5x-3=0

∴x=-4    या  5x=3

∴x=³/₅    Ans. x=-4 या  ³/₅

प्रयोग (25)    x के प्राप्त दो मान अर्थात x=10 एवं  x=-7(I) नम्बर द्विघात समीकरण बनाकर                     

    उसकी  जांच करे ।

Ans. x  के दो मान अर्थात x=10   x=-7 है ।

∴ (x-10)=0  (x+7)=0

द्विघात समीकरण =(x-10)(x+7)=0

या, x²-3x-70=0

या, x²-10x+7x-70=0

या,x(x-10)+7(x-10)=0

या, (x-10)(x-7)=0

या,  x-10=0    या, x+7=0

∴x=10      ∴x=-7

अतः उस द्विघात समीकरण के दो मूल 10   और -7 है ।

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

प्रयोग(26)     दो  क्रमिक धनात्मक बिषम संख्याओं का गुणनफल  143 है ।

समीकरण गठन करे एवं र्शिधर आचार्य के सूत्र का प्रयोग करके ।दोनों   विषम 

संख्याऐं    ज्ञात करें।

Ans.  माना पहली धनात्मक विषम संख्या  x है ।

∴  दूसरी क्रमिक धनात्मक विषम संख्या =x+2

अब (x)(x+2)=143

=x²+2x-143=0……..I

समीकरण  I को ax²+bx+c=0 के साथ तुलना करने पर      a=1, b=2  और  c=143 है ।

श्रीधरर्आचार्य   के सूत्र से  पाते है x= -b±√b²-4ac/₂ₐ

x=-2±√(2)²-4×1×(-143)/2×1=-2±√4+572/₂

=-2±24/₂=2(-1±12)/₂=-1±12

x=-1+12   -1-12

∴x=11  , -13    Ans. x=11 ,  -13

एक चर वाले द्विघात समीकरण chapter-1(3)

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