एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)class -10 W.B BOARD

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)class -10 W.B BOARD

1)निम्नलिखित बहुपदी व्यंजको में कौन सा व्दिघात बहुपदी व्यंजक हैं ?

 (1)x²⁻7x+2
(2) 7x⁵-x(x+2)
(3) 2x(x+5)+1
(4) 2x-1

Ans. (1) x²-7x+2
(3)2x(x+5)+1
or
2x²+10x+1 व्दिघात बहुपदी व्यंजक हैं |

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)class -10 W.B BOARD
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2. निम्नलिखित समीकरणों में कौन सा ax²+bx+c=0 जहां
a,b,c वास्तविक संख्याऐं हैं एवं a,o इसके रूप में जिन्हें लिखा जा सके ।

(1) x-1+1/x=6(x≠0)  (2) x+3/x=x²,(x≠0)          (3) x²-6√x+2=0  (4) (x-2)²=X²-4X+4

Ans. (1) x-1+1/x=6(x≠0)
x+1x=6+1
x²+1/x=7
x²+1=7x
x²-7x+1=0[ax²+bx+c=0] के  रूप में  हैं |

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

3)   समीकरण X⁶-x³-2=0 चर के किस घात के लिए व्दिघात समीकरण बन सकता हैं ।

Ans. x⁶-x³-2=0
(x³)²-(x³)-2=0
x³ [अर्थात x का घात 3 ]के लिए x⁶-x³-2=0व्दिघात  समीकरण हैं ।

4)(i)(a-2)x²+3x+5=0 के किस मान के लिए व्दिघात समीकरण नहीं होगा?

Ans.व्दिघात समीकरण ax²+bx+c=0 में a≠0
यदि a का मान शून्य हो जाय तो  समीकरण             bx+c=0 में बदल जायेगा
(a-2)x²+3x+5=0
में a-2=0  अर्थात a=2 होने पर समीकरण द्विघात समीकरण नहीं होगा ।
∴a-2=0  a=2 Ans

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

(ᵢᵢ)x/4-x=1/3x,(x≠0 , x≠4)ax²+bx+c=0(a≠0) जैसे द्विघात समीकरण
के रुप में लिखने पर x का गुणांक  क्या होगा  ?

Ans. x/4-x=1/3x,(x≠0,x≠4)
3x²=4-x
3x²+X-4=0 एक व्दिघात समीकरण है । X का गुणांक        +1  है।

(ᵢᵢᵢ) 3x²+7x+23=(x+4)(x+3)+2  को     ax²+bx+c=0(a≠0) के रुप में लिखें।
Ans. 3x²+7x+23=(x+4)(x+3)+2
3x²+7x+23=x²+7x+12+2
3x²-x²+7x-7x+23-14=0
2x²+9=0
2x²+0.x+9=0

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

   (ᵢᵥ) (x+2)³=x(x²-1)    समीकरण  को   ax²+bx+c=0(a≠0) जैसे द्विघात समीकरण

के रुप में लिखें एवं  x² , x , और x⁰ के गुणांक लिखें ।
Ans. (x+2)²=x(x²-1)
=(x)³+3(x)²(2)+3(x)(2)²+(2)³= x³-x
=x³+6x²+12x+8-x³+x=0
=6x²+13x+8=0 एक व्दिघात समीकरण हैं ।
इस समीकरण में x² का गुणांक  =6
x का गुणांक =+13
और x⁰ का गुणांक  =+8 हैं ।

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

5) निम्नलिखित विवरणों से एक चर वाले द्विघात समीकरणों की रचना करें ।

  (ᵢ) 42 को एसे दो भागों में विभक्त करें कि एक भाग दूसरे
के वर्ग के समान हो।

    Ans.   माना पहला भाग x और दूसरा भाग (42-x)  हैं ।

प्रश्नानुसार ,x=(42-x)² या  (42-x)=x²     या, x=1764-84+x² या, x²-85x+1764=0

या,x²+x-42  Ans.

(ᵢᵢ) दो क्रमिक विषम संख्याओं का गुणनफल 143 हैं ।

Ans. माना पहला क्रमिक विषम संख्या =x
∴ लगातार दूसरी क्रमिक विषम संख्या=x+2
प्रश्नानुसार x(x+2)=143
या, x²+2x-143 Ans.

  (ᵢᵢᵢ)    दो क्रमिक संख्याओं के वर्गों का योग 313 हैं ।

Ans.  माना पहला संख्या =x
∴ लगातार दूसरी क्रमिक संख्या= x+1
प्रश्नानुसार,(x)²+(x+1)²=313
या,  x²+x²+2x+1-313=0
या, 2x²+2x-312=0
या, 2(x²+x-156)=0
2≠0 ∴ x²+x-156=0 Ans.

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

  (6)  निम्नलिखित विवरणों से एक चर बाले द्विघात समीकरण का निर्माण करें।

   (ᵢ)  एक आयताकार क्षेत्र के विकर्ण की लम्बाई  15 मिटर
तथा उसकी लम्बाई ,चौड़ाई  की अपेक्षा 3 मिटर   अधिक हैं ।

Ans.  माना आयताकार क्षेत्र की  चौड़ाई  x मीटर है ।
आयत  की लम्बाई =(x+3)मीटर
प्रश्नानुसार,  आयत का विकर्ण =15 मिटर
∴√(x)²+(x+3)²=15 मीटर
दोनों तरफ वर्ग करने पर
x²+x²+6x+9=225
या, 2x²+6x+9-225=0
या, 2x²+6x-216=0
या,∵ 2≠0  ∴x²+3x-108=0

(ᵢᵢ) कोई व्यक्ति 80 रुपये में कुछ किलोग्राम चीनी खरीदा।  यदि  उसी रूपये में वे
4 किलोग्राम चीनी  अधिक पाते  तो चीनी की प्रति किलोग्राम दर 1 रुपये कम होती।

हल -:   माना कोई व्यक्ति 80 रुपये में x किलोग्राम चीनी
खरीदता है।
∴ 1 किलोग्राम का मूल्य = 80/x रुपये
अब 80 रुपये में (x+4) किलोग्राम चीनी मिलने पर
1 किलोग्राम चीनी का  मूल्य =80/x+4
प्रश्नानुसार, 80/x-80/x+4=1
या, 80x+320-80x/x(x+4)=1/1
या, 320/x²+4x=1/1
या, x²+4x=320
∴ x²+4x-320=0 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

(ᵢᵢᵢ)  दो स्टेशन के बीच की दूरी 300 किलोमीटर है ।एक  रेलगाड़ी
पहले स्टेशन से समान वेग से दूसरे स्टेशन की  तरफ गायी ।यदि
उसका वेग 5 किलो मीटर/घंटा अधिक  होता , तो उसे दूसरे स्टेशन
पर पहुंचने में   2 घण्टे कम  समय लगता है ।

Ans. माना प्रारम्भ में  र्टेन का वेग 5 किलो मीटर /घंटा है।
300 किलोमीटर  जाने में लगा समय =300/x  घंटा
अब र्टेन का वेग = (x+5)  किलो मीटर/घंटा
∴ 300 किलो मीटर जाने में लगा समय =300/x+5घंटा
प्रश्नानुसार , 300/x-300/x+5=2/1
=300x+1500-300x/(x)(x+5)=2/1
= (x²+5x)×2=1500
=x²+5x=1500/2=750
∴x²+5x-750=0 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

(ᵢv) कोई घड़ी विक्रेता 336 रुपये में कोई घड़ी विक्रय किया।
वह जितने रुपये में घड़ी खरीदत था । उसे घड़ी विक्रय में
उतना ही प्रतिशत  लाभ हुआ ।

Ans.घड़ी का विक्रय मूल्य (S .P)=₹336.00
माना घड़ी का क्रय मूल्य = x ₹ है । अतः लाभ x %
लाभ = x का x %= x×x/100=x²/100
अब क्रय मूल्य +लाभ = विक्रय मूल्य
= x+x²/100=336
= 100x+x²/100=336
या , x²+100x=33600
∴ x²+100x-33600=0 Ans

(v)नदी के धारा का वेग 2 किलो मीटर /घंटा होने पर रतन  नाविक
को नदी के धारा के अनुकूल 21 किलो मीटर  जाने  के बाद पुनः
उसी प्रारम्भिक जगह पर  वापस आने  में  10 घण्टा समय लगा ।

Ans. माना  स्थिर जल में नाव का वेग xकिलो मीटर/घंटा
धारा के अनुकूल  नाव का वेग =(x+2)किलो मीटर/घंटा
धारा के प्रतिकूल नाव का वेग =( x-2)किलो मीटर/घंटा
धारा के अनुकूल 21 किलो मीटर जाने में लगा समय =21/x+2 घंटा
प्रश्नानुसार, 21/x+2+21/x-2=10/1
=21x-42+21x+42/(x+2)(x-2)=10/1
=42x/x²-4=10/1
=10x²-40=42x
=10x²-42x-40=0
= 2(5x²-21x-20)=0
2≠0
∴ 5x²-21x-20=0 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

    (vi)हमारे घर के बगीचे की सफाई करने में महीम की  अपेक्षा  मजीद
को 3 घण्टा कम समय लगा ।वे दोनों   मिलकर उसी काम को 2
घण्टे में समाप्त कर देते है ।

Ans. माना घर के बगीचे की सफाई महीम व्दारा x घंटे में           होती है ।
महीम का एक घंटा का काम=  1/xकाम
मजीद को का म करने में  (x-3) घंटा लगता है ।
∴मजीद का 1 घण्टे का काम =1/x-3काम
दोनों का एक घंटा का काम = (1/x+1/x-3) काम
मजीद और महीम का 2 घण्टे का काम  = 2(1/x+1/x-3)
प्रश्नानुसार 2(1/x+1/x-3) =1
= 1/x+1/x-3=1/2
= x-3+x/x(x-3)=1/2
= 2x-3/x²-3x=1/2
=  x²-3x=4x-6
= x²-3x-4x+6=0
=x²-7x+6=0
∴ x²-7x+6 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

(vii)  किसी दो अंकों की संख्या में ईकाई का अंक दहाई के अंक के अपेक्षा 6
अधिक है तथा दोनों अंकों का   गुणनफल संख्या से 12 कम है ।

Ans. माना दहाई का अंक  x है ।
इकाई का अंक =x+6
अतः संख्या =10x+x+6 =11x+6
दोनों अंकों का गुणनफल =संख्या – 12
=x(x+6)=11x+6-12
=x²+6x-11x+6=0
=x²⁻5x+6=0 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

(viii)  45 मिटर लम्बे और 40 मिटर चौडे एक आयताकार खेल के मैदान
के बाहर चारों तरफ समान चौड़ाई का एक रास्ता  है और उसका
क्षेत्रफल 450 वर्ग किलोमीटर है ।

Ans. मैदान की लम्बाई =45 मीटर  चौड़ाई 40 मिटर
खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 45×40 वर्ग मीटर
= 1800 वर्ग मीटर

माना  रास्ते की चौड़ाई  x मीटर है ।
रास्ते के साथ मैदान की लम्बाई = (45+2x) मीटर
मैदान की चौड़ाई =(40+2x) मीटर
रास्ते के साथ मैदान का  क्षेत्रफल=(45+2x)×(40+2x)
प्रश्नानुसार , (45+2x)(40+2x)-1800=450
=1800+170x+4x²-1800-450=0
= 4x²+170x-450=0
=2(2x²+85x-225)=0
2≠0 ∴2x²+85x-225=0 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

(ix) 8 K के किस मान के लिए x²+kx+3=0   व्दिघात  समीकरण
का  एक मूल 1 होगा । हिसाब करके  लिखें  l

Ans.    x²+kx+3=0 द्विघात  समीकरण  का एक मूल है
अतः(1)²+k(1)+3=0
=1+k+3=0
=k+4=0
∴ k=-4
∵k=-4  होने से x²+kx+3=0 का  मूल  1 होगा ।

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)

    ( x)    a/ax-1+b/bx-1=a+b[x≠1/a ,1/b ]व्दिघात समीकरण का समाधान
पता करे और दोनों मूलों को लिखें ।

Ans. a/ax-1+bx-1=a+b
=(a/ax-1-b)+(b/bx-a)=0
=(a-abx+b/ax-1)+(b-abx+a/bx-1)=0
=(a+b-abx)(1/ax-1+1/bx-1)=0
यदि a+b-bx=0             अथवा 1/ax-1+1/bx-1

∴abx=a+b               =1/ax-1=-1/bx-1

∴x=a+b/ab               =bx-1=ax+1
= ax+bx=2
= x(a+b)=2
∴x=2/a+b
x=a+b/ab             अथवा  2/a+b Ans.

 

(xi)  हम x+3/x-3+x-3/x+4=2×1/2(x≠-3,3) व्दिघात समीकरण को हल  करें।
Ans. x+3/x-3/x-3 = 2¹/₂

माना x+3/x-3=a/1  ∴x-3/x+3=1/a
=a/1+1/a=2¹/₂
=a²+1/a=5/2
=2a²-5a+2=0
=2a²-4a-a+2=0
=2a(a-2)-1(a-2)=0
(a-2)(2a-a)=0
यदि, a-2=0   अथवा,2a-a=0
∴a=2     ∴a=1/2
aका मान रखने पर—
=x+3/x-3=2/1             पुनः x+3/x-3=1/2
=2x-6=x+3                =2x+6=x-3
=2x-6=3+6                =2x-x=3-6
∴ x =9            ∴x=9
Ans. x=9    अथवा     x=-9

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)class -10 W.B BOARD

1) निम्नलिखित में  प्रत्येक क्षेत्र में प्रदत्त मान एक चर वाले द्विघात समीकरण

के मूल है या नहीं जांच करे ।

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)class -10 W.B BOARD
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)class -10 W.B BOARD

(i)x²+x+1=0, 1 व -1

x²+x+1=0 द्विघात समीकरण में x=1 बैठाने पर

(1)²+1+1=1+1+1=3≠0

एक चर वाले द्विघात समीकरण में  x²+x+1=0 में  -1रखने पर

(-1)²-1(1)+1=+1-1+1=1≠0

x=1 या -1 समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। अतः

1 य। -1, समीकरण x²+x+1=0 का मूल नहीं है ।Ans.

(ii) 8x²+7x=0, 0 व -2

Ans.समीकरण में 0 रखने प Ans. र  8(0)²+7(0)=0

समीकरण को सिद्ध करता है ।अतः  8x²+7x=0 का एक मूल  0 है ।

8x²+7x=0 में -2 रखने पर 8(-2)²+7(-2)=32-14=18≠0

अतः  -2 समीकरण 8x²+7x का मूल नहीं है । Ans.

(iii)x+1/x=13/6, 5/6 व 4/3

x+1/x=13/6 या, x²+1/x=13/6 या, 6x¹+6=13x

या , 6x²-13x+6=0

समीकरण में 5/6 रखने पर  6(5/6)²-13×5/6+6=25/6-65/6+6

=25-65+36/6=-4/6≠0

5/6 समीकरण x+1/x=13/6 का मूल नहीं है ।Ans.

समीकरण में x=4/3 रखने पर

6(4/3)²-13×4/3+6=32/3-52/3+6/1=32-52+18/3

=50-52/3=-2/3≠0-4/3 समीकरण का मूल नहीं है । Ans.

(iv) x²-√3 x-6=0, – √3 व 2√3

x²-√3x-6=0  में  x=-√3 रखने पर

(-√3)²-√3×(-√3)-6=3+3-6=0

-√3 समीकरण  x²-√3x-6=0 को सिद्ध करता है ।

अतः   -√3 समीकरण का मूल है ।

पुनः x=2√3 रखने पर (2√3)²-√3(2√3)-6=12–6-6=0

2√3 समीकरण x²-√3 x-6=0 को सिद्ध करता है ।

अतः 2√3  एक मूल है ।
∴-√3 व 2√3 दोनों ही समीकरण x²-√3x-6 के मूल
 है  ।    Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)

(2) (i)  K के किस मान के लिए 7x²+kx-3=0 द्विघात समीकरण का
एक मूल 2/3 होगा ? हिसाब करके लिखें ।
Ans. 7x²+kx-3=0 समीकरण का 2/3 एक मूल है ।अतः समीकरण में
रखने पर समीकरण का मान शून्य होगा ।
7(2/3)²+k(2/3)-3=0
=7×4/9+2k/3-3/1=0, या,28/9+2k/3-3/1=0
=28+6k-27/9=0 या ,1+6k=0   ∴ k=-1/6  Ans.
(ii) K के किस मान हेतु  x²+3ax+k=0 द्विघात समीकरण का एक मूल -a होगा ?
हिसाब करके लिखें
Ans. x²-3ak+k=0 का एक मूल -a है ।
अतः   (-a)²+3a(-a)+k=0
=a²-3a²+k=0
∴k=3a²-a²=2a²  Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)

(3).  यदि ax²+7x+b=0 द्विघात समीकरण के दो मूल  2/3 एवं -3 हों ,
तो a और b का मान  पता करें ।
 Ans . ax²+7ax+b=0 द्विघात समीकरण के दो मूल  2/3  एवं  -3 है।
a(2/3)²+7(2/3)+b=0
=a×4/9+14/3+b=0
या, 4a/9+b/1+14/3=0
या,4a+9b+42/9=0
या ,4a+9b+42=0 ∴ 4a+9b=  -42………..I
पुनः x=-3
a(-3)²+7 (-3)+b=0
=9a-21+b=0 या,9a+b=21…………….II
 समीकरण I में I से और समीकरण II में 9 से गुणा कर घटाने  पर
       4a+9b=-42
       81a+9b=18
     –         –      –
______________________
-77a=  -231
∴a=231/77=3
अब a=3 समीकरण II में रखने पर
9a+b=21
या, 9(3)+b=21

या, b=21-27

∴b=-6Ans. a=3, b=-6.

 

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)

(4) समाधान करें :-

(i) 3y²-20=160-2y²

=3y²+2y²=160+20

=5y²=180

=y²=180/5=36

y=±√36

∴y=±6 Ans.

(ii) (2x+1)²+(x+1)²=6x+47

=4x²+4x+1+x²+2x+1=6x+47

=5x²+6x+2-6x-47=0

=5x²-45=0

=5x²=45

=x²=9      ∴x=±√9=±3 Ans.

(iii) (x-7)(x-9)=195

=x²-16x+63=195

=x²-16x+63-195=0

= x²-16x-132=0

=x²-22x+6x-132=0

=x(x-22)+6(x-22)=0

=(x-22)(x+6)=0
 यदि x-22=0 अथवा    x+6=0
∴ x=22 ∴x=-6

 x=22 या    -6

(iv)3x-24/x=x/3,x≠0

=3x²-24/x=x/3

=9x²-72=x²

= 9x²-x²=72

=8x²=72

=x²=72/8=9

∴x=±√9=±3 Ans.

(v)x/3+3/x=15/x,   x≠0

= x/3=15/x-3/x

=x/3=15-3/x

=x/3=12/x

=x²=36

∴x=±√36=±6 Ans.

(vi)10x-1/x=3    x≠0

=10x²-1/x=3/1

=10x²-1=3x

=10x²-3x-1=0

=10x²-5x+2x-1=0

=5x(2x-1)+1(2x-1)=0

=(2x-1)(5x+1)=0

यदि 2x-1=0   अथवा 5x+1=0

या 2x=1    या, 5x=-1

∴x=1/2    ∴x=-1/5

Ans.x=1/2,  -1/5

(vii) 2/x²-5/x+2=0  x≠0

=2-5x+2x²/x²=0

=2x²-5x+2=0

=2x²-4x-x+2=0

=2x(x-2)-(x-2)=0

=(x-2)(2x-1)=0

यदि x-2=0 अथवा 2x-1=0

∴x=2     2x=1

∴x=2   अथवा  ∴x=1/2

Ans. x=2  अथवा   1/2

(viii)x-2/x+2+6(x-2/x-6)=1

=x-2/x+2+6x-12/x-6=1

=6x-12/x-6=1-(x-2/x+2)

=6x-12/x-6=x+2-x+2/x+2

=6x-12/x-6=4/(x+2)

=6(x-2)×(x+2)=4(x-6)

=6(x²-4)=4x-24

=6x²-24-4x+24=0

=6x²-4x=0

=2x(3x-2)=0

यदि   2x=0 अथवा  3x-2=0

या   x=0/2 या,    3x=2

∴x=0    ∴x=2/3

उत्तर    x=0  या, 2/3

(ix)1/x-3-1/x+5=1/6

=x+5-x+3/(x-3)(x+5)=1/6

=8/x²+2x-15=1/6

=x²+2x-15=48

=x²+2x-15-48=0

=x²+2x-63=0

=x²+9x-7x-63=0

=x(x+9)-7(x+9)=0

=(x+9)(x+7)=0

या, x+9=0 अथवा,   x-7=0

∴x=-9     या  ∴x=7

x=-9   या    ,7    Ans.

(x) x/x+1 + x+1/x =25/2    x≠0   -1

=(x)²+(x+1)²/(x+1)(x)=25/12

=x²+x²+2x+1/x²+x=25/12

=2x²+2x+1/x²+x=25/12
=25x²+25x=24x²+24x+12

=25x²+25x-24x²-24x-12=0

=x²+x-12=0

=x²+4x-3x-12=0

=x( x+4)-3(x+4)=0

=(x+4)(x-3)=0

यदि x+4=0 अथवा,x-3=0

∴x=-4      ∴x=3

x=-3   या  ,  3   Ans.

(xi)ax+b/a+bx=cx+d/c+dx

=(ax+b)(c+dx)=(cx+d)(a+bx)

=acx+bc+adx²+bdx=acx+ad+bcx²+bdx

=acx+adx²+bdx-acx-bcx²-bdx=ad-bc

=adx²-bcx²=(ad-bc)

=x²(ad-bc)=ad-bc

=x²=ad-bc/ad-bc=1

=x²=1

∴x±√1=±1 Ans.

(xii)(2x+1)+3/2x+1=4,      x=-1/2

=(2x+1)(2x+1)+3/2x+1=4/1

=4x²+4x+1+3/2x+1=4/1

=4x²+4x+4=4(2x+1)

=4x²+4x+4=8x+4

=4x²+4x+4-8x-4=0

=4x²-4x=0

=4x(x-1)=0

यदि  4x=0 अथवा   x-1=0

∴x=0    ∴x=1

x=0 , या 1  Ans.

(xii)x+1/2+2/x+1=x+1/3+3/x+1-5/6

=x+1/2-x+1/3+5/6=3/x+1-2/x+1

=3x+3-2x-2+5/6=3-2/x+1

=x+6/6=1/x+1

=(x+6)(x+1)=6

=x²+7x+6=6

=x²+7x+6-6=0

=x²+7x=0

=x(x+7)=0

यदि x=0   अथवा    x+7=0∴x=-7

x=0  या, -7  Ans

(xiv)12x+17/3x+1-2x+15/x+7=3⅕

= 12x+17/3x+1=16/5+2x+15/x+7

=12x+17/3x+1=16+112+10x+75/5(x+7)

=12x+17/3x+1=26x+187/5x+35

=(12x+17)(5x+35)=(3x+1)(26x+187)

=60x²+505x+595=78x²+587x+187

=78x²+587x+187-60x²-505x-595=0

=18x²+82-408=0

=9x²+41x-204=0

=9x²+68x-27x-204=0

=x(9x+68)-3(9x+68)=0

=(9x+68)(x-3)=0

यदि  9x+68=0 अथवा x-3=0

या   9x=-68

या x=-68/9       या  x-3=0

∴x=-7⁵/₉     ∴x=3

Ans.  x=3     या  -7⁵/₉

(xv)x+3/x-3+6(x-3/x+3)=5     x≠-3 ,  +3

माना x+3/x-3=a/1     ∴x-3/x+3=1/a

=a/1+6¹/a=5/1

=a²+6=5a

=a²-5a+6=0

=a²-3a-2a+6=0

=a(a-3)-2(a-3)=0

=(a-3)(a-2)=0

यदि  a-3=0   अथवा a-2=0

a=3  ∴    a=2

a का मान रखने पर–

x+3/x-3=3/1         या,  x+3/x-3=2/1

=3x-9=x+3          =2x-6=x+3

=3x-x=9+3            =2x-x=3+6

=2x+12                    =2x-x=3+6

=2x=12                     = x=9

∴ x=6                       =x=9

∴    x=6 या 9   Ans.

(xvi)1/a+b+x=1/a+1/b+1/x

=1/a+b+x-1/x=1/a+1/b

=x-a-b-x/(a+b+x)(x)=b+a/ab

=-(a+b)/(a+b+x)x=(a+b)ab

=-1/ax+bx+x²=1/ab

=x²+ax+bx=-ab

=x²+ax+bx+ab=0

=x(x+a)+b(x+a)=0

=(x+a)(x+b)=0

यदि x+a=0   अथवा x+b=0

∴x=-a   या x=-b

x=-a   या  -b

(xvii)  (x+a/x-a)²-5(x+a/x-a)+6=0

माना x+a/x-a=p

=p²-5p+6=0

=p²-5p+6=0

=p²⁻3p-2p+6=0

=p(p-3)-2(p-3)=0

=(p-3)(p-2)=0

यदि p-3=0    अथवा    p-2=0

∴p=3       ∴p=2

p का मान लौटाने पर —

अब x+a/x-a=3/1    या  x+a/x-a=2/1

=3x-3a=x+a  या   2x-2a=x+a

=3x-x=a+3a  या    ,2x-x=a+2a

या  2x=4a  ∴x=3a

∴x=4a/2 =2a

उत्तर   x=2a  या  ,  3a

(xviii)1/x-1/x+b=1/a-1/a+b

=x+b-x/x(x+b) =a+b-a/a(a+b)

=b/x²+bx=b/a²+ab

=1/x²+bx=1/a²+ab

=x²+bx=a²+ab

=x²-a²+bx-ab=0

=(x+a)(x-a)+b(x-a)=0

=(x-a)(x+a+b)=0

यदि x-a=0     अथवा  x+a+b=0
∴x=0   ∴x=-(a+b)

उत्तर   x=a     या -(a+b)

(xix)1/(x-1)(x-2)+1/(x-2)(x-3)+1/(x-3)(x-4)=1/6

=1/(x-2)-1/(x-1)+1/(x-3)-1(x-2)+1/(x-4)-1/(x-3)

=1/6

[∴1/x-2 -1/x-1=x-1-x+2:(x-1)(x-2)=1/(x-1)(x-2)]

=1/x-4-1/x-1=1/6

=x-1-x+4/(x-4)(x-1)=1/6

=3/(x-4)(x-1)=1/6

=3/x²-5x+4=1/6

=x²-5x+4=18

=x²-5x+4-18=0

=x²-5x-14=0

=x²-7x+2x-14=0

=x(x-7)+2(x-7)=0

=(x-7)(x+2)=0

यदि  x-7=0    अथवा x+2=0

∴   x=7      या   x=-2

x=7   या     -2

(xx)a/x-a + b/x-b=2c/x-c

=a/x-a + b/x-b=c/x-c + c/x-c

=a/x-a + c/x-c=c/x-c – b/x-b

=ax-ca-cx+ac/(ax-a)(x-c)=cx-bc-bx+bc/(x-c)                                                                             (x-b)

=ax-cx/x-a=cx-bx/x-b

=(ax-cx)(x-b)=(x-a)(cx-bx)

=ax²-cx²-abx+bcx=acx-bx²+abx

=ax²-cx²-abx+bcx-cx²+acx+bx²-abx=0

=x(ax+bx-2cx+ac+bc-2ab)=0

यदि  x=0   अथवा  ax+bx-2cx+ac+bc-2ab=0

=x(a+b-2c)=2ab-ac-bc

∴x=2ab-ac-bc/a+b-2c

x=0  यदि    2ab-ac-bc/a+b-2c Ans

(xxi) x²-(√3+2)x+2√3=0

=x²-√3x-2x+2√3=0

=x²-2x-√3x+2√3=0

=x(x-2)-√3(x-2)=0

=(x-2)(x-√3)=0

यदि x-2=0 अथवा x-√3=0

∴ x=2    या ∴x=√3

(xxii) (x+4/x-4)²-5(x+4/x-4)+6=0

माना कि (x+4/x-4)=a

व्यंजक a²-5a+6=0

या ,a²-3a-2a+6=0

या, a(a-3)-2(a-3)=0

या, (a-3)(a-2)=0

जब (a-3)=0                जब, a-2=0

∴ a=2

∴a=3                         या, x+4/x-4=2

या   x+4/x-4=3/1          या,2x-8=x+4

या 3x-12=x+4              या,2x-x=4+8

या 3x-x=4+12               या,x=12

या  2x=16

∴x=16/2=8

∴ x=8  ,  12 Ans.

एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)

(18) दो अंकों की एक संख्या में ईकाई का अंक दहाई के अंक से 6 अधिक है एवं

उसके दोनों अंकों का गुणनफल मान संख्या से 12 कम है ।संख्या का इकाई अंक

क्या हो सकता हैं?

Sallution-: माना दो अंकों की संख्या में दहाई का अंक  है।

∴ईकाई का अंक = (x+6)

∴ संख्या 10x+(x+6)=11x+6

प्रश्नानुसार, x×(x²+6)=11x+6-12

=x²+6x=11x-6

=x²+6x-11x+6=0

=x²-5x+6=0

=x²-3x-2x+6=0

=x(x-3)-2(x-3)=0

=(x-3)(x-2)=0

यदि  x-3=0  अथवा x-2=0

∴x=3       ∴x=2

दहाई का अंक (x)=3 होने पर इकाई का अंक    3+6=9

और   x=2 होने पर इकाई का अंक  2+6=8

अतः संख्याए 11x+6=11×3+6=39

दूसरी संख्या  11x+6=11×2+6=28

अतः दो अंकों की संख्या  39  अथवा 28  उत्तर ।

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