एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)class -10 W.B BOARD
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)class -10 W.B BOARD
1)निम्नलिखित बहुपदी व्यंजको में कौन सा व्दिघात बहुपदी व्यंजक हैं ?
(1)x²⁻7x+2
(2) 7x⁵-x(x+2)
(3) 2x(x+5)+1
(4) 2x-1
Ans. (1) x²-7x+2
(3)2x(x+5)+1
or
2x²+10x+1 व्दिघात बहुपदी व्यंजक हैं |
2. निम्नलिखित समीकरणों में कौन सा ax²+bx+c=0 जहां
a,b,c वास्तविक संख्याऐं हैं एवं a,o इसके रूप में जिन्हें लिखा जा सके ।
(1) x-1+1/x=6(x≠0) (2) x+3/x=x²,(x≠0) (3) x²-6√x+2=0 (4) (x-2)²=X²-4X+4
Ans. (1) x-1+1/x=6(x≠0)
x+1x=6+1
x²+1/x=7
x²+1=7x
x²-7x+1=0[ax²+bx+c=0] के रूप में हैं |
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
3) समीकरण X⁶-x³-2=0 चर के किस घात के लिए व्दिघात समीकरण बन सकता हैं ।
Ans. x⁶-x³-2=0
(x³)²-(x³)-2=0
x³ [अर्थात x का घात 3 ]के लिए x⁶-x³-2=0व्दिघात समीकरण हैं ।
4)(i)(a-2)x²+3x+5=0 के किस मान के लिए व्दिघात समीकरण नहीं होगा?
Ans.व्दिघात समीकरण ax²+bx+c=0 में a≠0
यदि a का मान शून्य हो जाय तो समीकरण bx+c=0 में बदल जायेगा
(a-2)x²+3x+5=0
में a-2=0 अर्थात a=2 होने पर समीकरण द्विघात समीकरण नहीं होगा ।
∴a-2=0 a=2 Ans
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(ᵢᵢ)x/4-x=1/3x,(x≠0 , x≠4)ax²+bx+c=0(a≠0) जैसे द्विघात समीकरण
के रुप में लिखने पर x का गुणांक क्या होगा ?
Ans. x/4-x=1/3x,(x≠0,x≠4)
3x²=4-x
3x²+X-4=0 एक व्दिघात समीकरण है । X का गुणांक +1 है।
(ᵢᵢᵢ) 3x²+7x+23=(x+4)(x+3)+2 को ax²+bx+c=0(a≠0) के रुप में लिखें।
Ans. 3x²+7x+23=(x+4)(x+3)+2
3x²+7x+23=x²+7x+12+2
3x²-x²+7x-7x+23-14=0
2x²+9=0
2x²+0.x+9=0
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(ᵢᵥ) (x+2)³=x(x²-1) समीकरण को ax²+bx+c=0(a≠0) जैसे द्विघात समीकरण
के रुप में लिखें एवं x² , x , और x⁰ के गुणांक लिखें ।
Ans. (x+2)²=x(x²-1)
=(x)³+3(x)²(2)+3(x)(2)²+(2)³= x³-x
=x³+6x²+12x+8-x³+x=0
=6x²+13x+8=0 एक व्दिघात समीकरण हैं ।
इस समीकरण में x² का गुणांक =6
x का गुणांक =+13
और x⁰ का गुणांक =+8 हैं ।
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
5) निम्नलिखित विवरणों से एक चर वाले द्विघात समीकरणों की रचना करें ।
(ᵢ) 42 को एसे दो भागों में विभक्त करें कि एक भाग दूसरे
के वर्ग के समान हो।
प्रश्नानुसार ,x=(42-x)² या (42-x)=x² या, x=1764-84+x² या, x²-85x+1764=0
या,x²+x-42 Ans.
(ᵢᵢ) दो क्रमिक विषम संख्याओं का गुणनफल 143 हैं ।
Ans. माना पहला क्रमिक विषम संख्या =x
∴ लगातार दूसरी क्रमिक विषम संख्या=x+2
प्रश्नानुसार x(x+2)=143
या, x²+2x-143 Ans.
(ᵢᵢᵢ) दो क्रमिक संख्याओं के वर्गों का योग 313 हैं ।
Ans. माना पहला संख्या =x
∴ लगातार दूसरी क्रमिक संख्या= x+1
प्रश्नानुसार,(x)²+(x+1)²=313
या, x²+x²+2x+1-313=0
या, 2x²+2x-312=0
या, 2(x²+x-156)=0
2≠0 ∴ x²+x-156=0 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(6) निम्नलिखित विवरणों से एक चर बाले द्विघात समीकरण का निर्माण करें।
(ᵢ) एक आयताकार क्षेत्र के विकर्ण की लम्बाई 15 मिटर
तथा उसकी लम्बाई ,चौड़ाई की अपेक्षा 3 मिटर अधिक हैं ।
Ans. माना आयताकार क्षेत्र की चौड़ाई x मीटर है ।
आयत की लम्बाई =(x+3)मीटर
प्रश्नानुसार, आयत का विकर्ण =15 मिटर
∴√(x)²+(x+3)²=15 मीटर
दोनों तरफ वर्ग करने पर
x²+x²+6x+9=225
या, 2x²+6x+9-225=0
या, 2x²+6x-216=0
या,∵ 2≠0 ∴x²+3x-108=0
(ᵢᵢ) कोई व्यक्ति 80 रुपये में कुछ किलोग्राम चीनी खरीदा। यदि उसी रूपये में वे
4 किलोग्राम चीनी अधिक पाते तो चीनी की प्रति किलोग्राम दर 1 रुपये कम होती।
हल -: माना कोई व्यक्ति 80 रुपये में x किलोग्राम चीनी
खरीदता है।
∴ 1 किलोग्राम का मूल्य = 80/x रुपये
अब 80 रुपये में (x+4) किलोग्राम चीनी मिलने पर
1 किलोग्राम चीनी का मूल्य =80/x+4
प्रश्नानुसार, 80/x-80/x+4=1
या, 80x+320-80x/x(x+4)=1/1
या, 320/x²+4x=1/1
या, x²+4x=320
∴ x²+4x-320=0 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(ᵢᵢᵢ) दो स्टेशन के बीच की दूरी 300 किलोमीटर है ।एक रेलगाड़ी
पहले स्टेशन से समान वेग से दूसरे स्टेशन की तरफ गायी ।यदि
उसका वेग 5 किलो मीटर/घंटा अधिक होता , तो उसे दूसरे स्टेशन
पर पहुंचने में 2 घण्टे कम समय लगता है ।
Ans. माना प्रारम्भ में र्टेन का वेग 5 किलो मीटर /घंटा है।
300 किलोमीटर जाने में लगा समय =300/x घंटा
अब र्टेन का वेग = (x+5) किलो मीटर/घंटा
∴ 300 किलो मीटर जाने में लगा समय =300/x+5घंटा
प्रश्नानुसार , 300/x-300/x+5=2/1
=300x+1500-300x/(x)(x+5)=2/1
= (x²+5x)×2=1500
=x²+5x=1500/2=750
∴x²+5x-750=0 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(ᵢv) कोई घड़ी विक्रेता 336 रुपये में कोई घड़ी विक्रय किया।
वह जितने रुपये में घड़ी खरीदत था । उसे घड़ी विक्रय में
उतना ही प्रतिशत लाभ हुआ ।
Ans.घड़ी का विक्रय मूल्य (S .P)=₹336.00
माना घड़ी का क्रय मूल्य = x ₹ है । अतः लाभ x %
लाभ = x का x %= x×x/100=x²/100
अब क्रय मूल्य +लाभ = विक्रय मूल्य
= x+x²/100=336
= 100x+x²/100=336
या , x²+100x=33600
∴ x²+100x-33600=0 Ans
(v)नदी के धारा का वेग 2 किलो मीटर /घंटा होने पर रतन नाविक
को नदी के धारा के अनुकूल 21 किलो मीटर जाने के बाद पुनः
उसी प्रारम्भिक जगह पर वापस आने में 10 घण्टा समय लगा ।
Ans. माना स्थिर जल में नाव का वेग xकिलो मीटर/घंटा
धारा के अनुकूल नाव का वेग =(x+2)किलो मीटर/घंटा
धारा के प्रतिकूल नाव का वेग =( x-2)किलो मीटर/घंटा
धारा के अनुकूल 21 किलो मीटर जाने में लगा समय =21/x+2 घंटा
प्रश्नानुसार, 21/x+2+21/x-2=10/1
=21x-42+21x+42/(x+2)(x-2)=10/1
=42x/x²-4=10/1
=10x²-40=42x
=10x²-42x-40=0
= 2(5x²-21x-20)=0
2≠0
∴ 5x²-21x-20=0 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(vi)हमारे घर के बगीचे की सफाई करने में महीम की अपेक्षा मजीद
को 3 घण्टा कम समय लगा ।वे दोनों मिलकर उसी काम को 2
घण्टे में समाप्त कर देते है ।
Ans. माना घर के बगीचे की सफाई महीम व्दारा x घंटे में होती है ।
महीम का एक घंटा का काम= 1/xकाम
मजीद को का म करने में (x-3) घंटा लगता है ।
∴मजीद का 1 घण्टे का काम =1/x-3काम
दोनों का एक घंटा का काम = (1/x+1/x-3) काम
मजीद और महीम का 2 घण्टे का काम = 2(1/x+1/x-3)
प्रश्नानुसार 2(1/x+1/x-3) =1
= 1/x+1/x-3=1/2
= x-3+x/x(x-3)=1/2
= 2x-3/x²-3x=1/2
= x²-3x=4x-6
= x²-3x-4x+6=0
=x²-7x+6=0
∴ x²-7x+6 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(vii) किसी दो अंकों की संख्या में ईकाई का अंक दहाई के अंक के अपेक्षा 6
अधिक है तथा दोनों अंकों का गुणनफल संख्या से 12 कम है ।
Ans. माना दहाई का अंक x है ।
इकाई का अंक =x+6
अतः संख्या =10x+x+6 =11x+6
दोनों अंकों का गुणनफल =संख्या – 12
=x(x+6)=11x+6-12
=x²+6x-11x+6=0
=x²⁻5x+6=0 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(viii) 45 मिटर लम्बे और 40 मिटर चौडे एक आयताकार खेल के मैदान
के बाहर चारों तरफ समान चौड़ाई का एक रास्ता है और उसका
क्षेत्रफल 450 वर्ग किलोमीटर है ।
Ans. मैदान की लम्बाई =45 मीटर चौड़ाई 40 मिटर
खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 45×40 वर्ग मीटर
= 1800 वर्ग मीटर
माना रास्ते की चौड़ाई x मीटर है ।
रास्ते के साथ मैदान की लम्बाई = (45+2x) मीटर
मैदान की चौड़ाई =(40+2x) मीटर
रास्ते के साथ मैदान का क्षेत्रफल=(45+2x)×(40+2x)
प्रश्नानुसार , (45+2x)(40+2x)-1800=450
=1800+170x+4x²-1800-450=0
= 4x²+170x-450=0
=2(2x²+85x-225)=0
2≠0 ∴2x²+85x-225=0 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
(ix) 8 K के किस मान के लिए x²+kx+3=0 व्दिघात समीकरण
का एक मूल 1 होगा । हिसाब करके लिखें l
Ans. x²+kx+3=0 द्विघात समीकरण का एक मूल है
अतः(1)²+k(1)+3=0
=1+k+3=0
=k+4=0
∴ k=-4
∵k=-4 होने से x²+kx+3=0 का मूल 1 होगा ।
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(1)
( x) a/ax-1+b/bx-1=a+b[x≠1/a ,1/b ]व्दिघात समीकरण का समाधान
पता करे और दोनों मूलों को लिखें ।
Ans. a/ax-1+bx-1=a+b
=(a/ax-1-b)+(b/bx-a)=0
=(a-abx+b/ax-1)+(b-abx+a/bx-1)=0
=(a+b-abx)(1/ax-1+1/bx-1)=0
यदि a+b-bx=0 अथवा 1/ax-1+1/bx-1
∴abx=a+b =1/ax-1=-1/bx-1
∴x=a+b/ab =bx-1=ax+1
= ax+bx=2
= x(a+b)=2
∴x=2/a+b
x=a+b/ab अथवा 2/a+b Ans.
(xi) हम x+3/x-3+x-3/x+4=2×1/2(x≠-3,3) व्दिघात समीकरण को हल करें।
Ans. x+3/x-3/x-3 = 2¹/₂
माना x+3/x-3=a/1 ∴x-3/x+3=1/a
=a/1+1/a=2¹/₂
=a²+1/a=5/2
=2a²-5a+2=0
=2a²-4a-a+2=0
=2a(a-2)-1(a-2)=0
(a-2)(2a-a)=0
यदि, a-2=0 अथवा,2a-a=0
∴a=2 ∴a=1/2
aका मान रखने पर—
=x+3/x-3=2/1 पुनः x+3/x-3=1/2
=2x-6=x+3 =2x+6=x-3
=2x-6=3+6 =2x-x=3-6
∴ x =9 ∴x=9
Ans. x=9 अथवा x=-9
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)class -10 W.B BOARD
1) निम्नलिखित में प्रत्येक क्षेत्र में प्रदत्त मान एक चर वाले द्विघात समीकरण
के मूल है या नहीं जांच करे ।
(i)x²+x+1=0, 1 व -1
x²+x+1=0 द्विघात समीकरण में x=1 बैठाने पर
(1)²+1+1=1+1+1=3≠0
एक चर वाले द्विघात समीकरण में x²+x+1=0 में -1रखने पर
(-1)²-1(1)+1=+1-1+1=1≠0
x=1 या -1 समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। अतः
1 य। -1, समीकरण x²+x+1=0 का मूल नहीं है ।Ans.
(ii) 8x²+7x=0, 0 व -2
Ans.समीकरण में 0 रखने प Ans. र 8(0)²+7(0)=0
समीकरण को सिद्ध करता है ।अतः 8x²+7x=0 का एक मूल 0 है ।
8x²+7x=0 में -2 रखने पर 8(-2)²+7(-2)=32-14=18≠0
अतः -2 समीकरण 8x²+7x का मूल नहीं है । Ans.
(iii)x+1/x=13/6, 5/6 व 4/3
x+1/x=13/6 या, x²+1/x=13/6 या, 6x¹+6=13x
या , 6x²-13x+6=0
समीकरण में 5/6 रखने पर 6(5/6)²-13×5/6+6=25/6-65/6+6
=25-65+36/6=-4/6≠0
5/6 समीकरण x+1/x=13/6 का मूल नहीं है ।Ans.
समीकरण में x=4/3 रखने पर
6(4/3)²-13×4/3+6=32/3-52/3+6/1=32-52+18/3
=50-52/3=-2/3≠0-4/3 समीकरण का मूल नहीं है । Ans.
(iv) x²-√3 x-6=0, – √3 व 2√3
x²-√3x-6=0 में x=-√3 रखने पर
(-√3)²-√3×(-√3)-6=3+3-6=0
-√3 समीकरण x²-√3x-6=0 को सिद्ध करता है ।
अतः -√3 समीकरण का मूल है ।
पुनः x=2√3 रखने पर (2√3)²-√3(2√3)-6=12–6-6=0
2√3 समीकरण x²-√3 x-6=0 को सिद्ध करता है ।
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)
या, b=21-27
∴b=-6Ans. a=3, b=-6.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)
(4) समाधान करें :-
(i) 3y²-20=160-2y²
=3y²+2y²=160+20
=5y²=180
=y²=180/5=36
y=±√36
∴y=±6 Ans.
(ii) (2x+1)²+(x+1)²=6x+47
=4x²+4x+1+x²+2x+1=6x+47
=5x²+6x+2-6x-47=0
=5x²-45=0
=5x²=45
=x²=9 ∴x=±√9=±3 Ans.
(iii) (x-7)(x-9)=195
=x²-16x+63=195
=x²-16x+63-195=0
= x²-16x-132=0
=x²-22x+6x-132=0
=x(x-22)+6(x-22)=0
x=22 या -6
(iv)3x-24/x=x/3,x≠0
=3x²-24/x=x/3
=9x²-72=x²
= 9x²-x²=72
=8x²=72
=x²=72/8=9
∴x=±√9=±3 Ans.
(v)x/3+3/x=15/x, x≠0
= x/3=15/x-3/x
=x/3=15-3/x
=x/3=12/x
=x²=36
∴x=±√36=±6 Ans.
(vi)10x-1/x=3 x≠0
=10x²-1/x=3/1
=10x²-1=3x
=10x²-3x-1=0
=10x²-5x+2x-1=0
=5x(2x-1)+1(2x-1)=0
=(2x-1)(5x+1)=0
यदि 2x-1=0 अथवा 5x+1=0
या 2x=1 या, 5x=-1
∴x=1/2 ∴x=-1/5
Ans.x=1/2, -1/5
(vii) 2/x²-5/x+2=0 x≠0
=2-5x+2x²/x²=0
=2x²-5x+2=0
=2x²-4x-x+2=0
=2x(x-2)-(x-2)=0
=(x-2)(2x-1)=0
यदि x-2=0 अथवा 2x-1=0
∴x=2 2x=1
∴x=2 अथवा ∴x=1/2
Ans. x=2 अथवा 1/2
(viii)x-2/x+2+6(x-2/x-6)=1
=x-2/x+2+6x-12/x-6=1
=6x-12/x-6=1-(x-2/x+2)
=6x-12/x-6=x+2-x+2/x+2
=6x-12/x-6=4/(x+2)
=6(x-2)×(x+2)=4(x-6)
=6(x²-4)=4x-24
=6x²-24-4x+24=0
=6x²-4x=0
=2x(3x-2)=0
यदि 2x=0 अथवा 3x-2=0
या x=0/2 या, 3x=2
∴x=0 ∴x=2/3
उत्तर x=0 या, 2/3
(ix)1/x-3-1/x+5=1/6
=x+5-x+3/(x-3)(x+5)=1/6
=8/x²+2x-15=1/6
=x²+2x-15=48
=x²+2x-15-48=0
=x²+2x-63=0
=x²+9x-7x-63=0
=x(x+9)-7(x+9)=0
=(x+9)(x+7)=0
या, x+9=0 अथवा, x-7=0
∴x=-9 या ∴x=7
x=-9 या ,7 Ans.
(x) x/x+1 + x+1/x =25/2 x≠0 -1
=(x)²+(x+1)²/(x+1)(x)=25/12
=x²+x²+2x+1/x²+x=25/12
=2x²+2x+1/x²+x=25/12
=25x²+25x=24x²+24x+12
=25x²+25x-24x²-24x-12=0
=x²+x-12=0
=x²+4x-3x-12=0
=x( x+4)-3(x+4)=0
=(x+4)(x-3)=0
यदि x+4=0 अथवा,x-3=0
∴x=-4 ∴x=3
x=-3 या , 3 Ans.
(xi)ax+b/a+bx=cx+d/c+dx
=(ax+b)(c+dx)=(cx+d)(a+bx)
=acx+bc+adx²+bdx=acx+ad+bcx²+bdx
=acx+adx²+bdx-acx-bcx²-bdx=ad-bc
=adx²-bcx²=(ad-bc)
=x²(ad-bc)=ad-bc
=x²=ad-bc/ad-bc=1
=x²=1
∴x±√1=±1 Ans.
(xii)(2x+1)+3/2x+1=4, x=-1/2
=(2x+1)(2x+1)+3/2x+1=4/1
=4x²+4x+1+3/2x+1=4/1
=4x²+4x+4=4(2x+1)
=4x²+4x+4=8x+4
=4x²+4x+4-8x-4=0
=4x²-4x=0
=4x(x-1)=0
यदि 4x=0 अथवा x-1=0
∴x=0 ∴x=1
x=0 , या 1 Ans.
(xii)x+1/2+2/x+1=x+1/3+3/x+1-5/6
=x+1/2-x+1/3+5/6=3/x+1-2/x+1
=3x+3-2x-2+5/6=3-2/x+1
=x+6/6=1/x+1
=(x+6)(x+1)=6
=x²+7x+6=6
=x²+7x+6-6=0
=x²+7x=0
=x(x+7)=0
यदि x=0 अथवा x+7=0∴x=-7
x=0 या, -7 Ans
(xiv)12x+17/3x+1-2x+15/x+7=3⅕
= 12x+17/3x+1=16/5+2x+15/x+7
=12x+17/3x+1=16+112+10x+75/5(x+7)
=12x+17/3x+1=26x+187/5x+35
=(12x+17)(5x+35)=(3x+1)(26x+187)
=60x²+505x+595=78x²+587x+187
=78x²+587x+187-60x²-505x-595=0
=18x²+82-408=0
=9x²+41x-204=0
=9x²+68x-27x-204=0
=x(9x+68)-3(9x+68)=0
=(9x+68)(x-3)=0
यदि 9x+68=0 अथवा x-3=0
या 9x=-68
या x=-68/9 या x-3=0
∴x=-7⁵/₉ ∴x=3
Ans. x=3 या -7⁵/₉
(xv)x+3/x-3+6(x-3/x+3)=5 x≠-3 , +3
माना x+3/x-3=a/1 ∴x-3/x+3=1/a
=a/1+6¹/a=5/1
=a²+6=5a
=a²-5a+6=0
=a²-3a-2a+6=0
=a(a-3)-2(a-3)=0
=(a-3)(a-2)=0
यदि a-3=0 अथवा a-2=0
a=3 ∴ a=2
a का मान रखने पर–
x+3/x-3=3/1 या, x+3/x-3=2/1
=3x-9=x+3 =2x-6=x+3
=3x-x=9+3 =2x-x=3+6
=2x+12 =2x-x=3+6
=2x=12 = x=9
∴ x=6 =x=9
∴ x=6 या 9 Ans.
(xvi)1/a+b+x=1/a+1/b+1/x
=1/a+b+x-1/x=1/a+1/b
=x-a-b-x/(a+b+x)(x)=b+a/ab
=-(a+b)/(a+b+x)x=(a+b)ab
=-1/ax+bx+x²=1/ab
=x²+ax+bx=-ab
=x²+ax+bx+ab=0
=x(x+a)+b(x+a)=0
=(x+a)(x+b)=0
यदि x+a=0 अथवा x+b=0
∴x=-a या x=-b
x=-a या -b
(xvii) (x+a/x-a)²-5(x+a/x-a)+6=0
माना x+a/x-a=p
=p²-5p+6=0
=p²-5p+6=0
=p²⁻3p-2p+6=0
=p(p-3)-2(p-3)=0
=(p-3)(p-2)=0
यदि p-3=0 अथवा p-2=0
∴p=3 ∴p=2
p का मान लौटाने पर —
अब x+a/x-a=3/1 या x+a/x-a=2/1
=3x-3a=x+a या 2x-2a=x+a
=3x-x=a+3a या ,2x-x=a+2a
या 2x=4a ∴x=3a
∴x=4a/2 =2a
उत्तर x=2a या , 3a
(xviii)1/x-1/x+b=1/a-1/a+b
=x+b-x/x(x+b) =a+b-a/a(a+b)
=b/x²+bx=b/a²+ab
=1/x²+bx=1/a²+ab
=x²+bx=a²+ab
=x²-a²+bx-ab=0
=(x+a)(x-a)+b(x-a)=0
=(x-a)(x+a+b)=0
यदि x-a=0 अथवा x+a+b=0
∴x=0 ∴x=-(a+b)
उत्तर x=a या -(a+b)
(xix)1/(x-1)(x-2)+1/(x-2)(x-3)+1/(x-3)(x-4)=1/6
=1/(x-2)-1/(x-1)+1/(x-3)-1(x-2)+1/(x-4)-1/(x-3)
=1/6
[∴1/x-2 -1/x-1=x-1-x+2:(x-1)(x-2)=1/(x-1)(x-2)]
=1/x-4-1/x-1=1/6
=x-1-x+4/(x-4)(x-1)=1/6
=3/(x-4)(x-1)=1/6
=3/x²-5x+4=1/6
=x²-5x+4=18
=x²-5x+4-18=0
=x²-5x-14=0
=x²-7x+2x-14=0
=x(x-7)+2(x-7)=0
=(x-7)(x+2)=0
यदि x-7=0 अथवा x+2=0
∴ x=7 या x=-2
x=7 या -2
(xx)a/x-a + b/x-b=2c/x-c
=a/x-a + b/x-b=c/x-c + c/x-c
=a/x-a + c/x-c=c/x-c – b/x-b
=ax-ca-cx+ac/(ax-a)(x-c)=cx-bc-bx+bc/(x-c) (x-b)
=ax-cx/x-a=cx-bx/x-b
=(ax-cx)(x-b)=(x-a)(cx-bx)
=ax²-cx²-abx+bcx=acx-bx²+abx
=ax²-cx²-abx+bcx-cx²+acx+bx²-abx=0
=x(ax+bx-2cx+ac+bc-2ab)=0
यदि x=0 अथवा ax+bx-2cx+ac+bc-2ab=0
=x(a+b-2c)=2ab-ac-bc
∴x=2ab-ac-bc/a+b-2c
x=0 यदि 2ab-ac-bc/a+b-2c Ans
(xxi) x²-(√3+2)x+2√3=0
=x²-√3x-2x+2√3=0
=x²-2x-√3x+2√3=0
=x(x-2)-√3(x-2)=0
=(x-2)(x-√3)=0
यदि x-2=0 अथवा x-√3=0
∴ x=2 या ∴x=√3
(xxii) (x+4/x-4)²-5(x+4/x-4)+6=0
माना कि (x+4/x-4)=a
व्यंजक a²-5a+6=0
या ,a²-3a-2a+6=0
या, a(a-3)-2(a-3)=0
या, (a-3)(a-2)=0
जब (a-3)=0 जब, a-2=0
∴ a=2
∴a=3 या, x+4/x-4=2
या x+4/x-4=3/1 या,2x-8=x+4
या 3x-12=x+4 या,2x-x=4+8
या 3x-x=4+12 या,x=12
या 2x=16
∴x=16/2=8
∴ x=8 , 12 Ans.
एक चर वाले द्विघात समीकरण CHAPTER-1(2)
(18) दो अंकों की एक संख्या में ईकाई का अंक दहाई के अंक से 6 अधिक है एवं
उसके दोनों अंकों का गुणनफल मान संख्या से 12 कम है ।संख्या का इकाई अंक
क्या हो सकता हैं?
Sallution-: माना दो अंकों की संख्या में दहाई का अंक है।
∴ईकाई का अंक = (x+6)
∴ संख्या 10x+(x+6)=11x+6
प्रश्नानुसार, x×(x²+6)=11x+6-12
=x²+6x=11x-6
=x²+6x-11x+6=0
=x²-5x+6=0
=x²-3x-2x+6=0
=x(x-3)-2(x-3)=0
=(x-3)(x-2)=0
यदि x-3=0 अथवा x-2=0
∴x=3 ∴x=2
दहाई का अंक (x)=3 होने पर इकाई का अंक 3+6=9
और x=2 होने पर इकाई का अंक 2+6=8
अतः संख्याए 11x+6=11×3+6=39
दूसरी संख्या 11x+6=11×2+6=28
अतः दो अंकों की संख्या 39 अथवा 28 उत्तर ।