एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter-1.5 class-10(W.B Board)
एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter-1.5 class-10(W.B Board)
(ii) 3x²-2√6x+2=0
समीकरण का निरूपक या विवेचक (D)+b²-4ac
D=(-2√6)²-4×3×2, D=24-24, D=0
दिए गए समीकरण 3x²-2√6x+2=0 के मूल वास्तविक और बराबर है।
(iii )2x²-7x+9=0 दिए गए समिककरण का विवेचक
D=b²-4ac, D=(-7)²-4(2)(9), D=49-72
D= -23, D<0
अर्थात b²-4ac<0 अतः समीकरण का मूल वास्तविक नहीं है।
(iv ) ²/₃ ₓ² – ²/₃ ₓ+1=0
इस समीकरण का विवेचक D=b²-4ac
D= ⁻⁵²/₄₅ , D<0
अर्थात b²-4ac<0 अतः समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है।
(2 )Kके किस मान हेतु निम्ननिखित द्विघात समीकरण के वास्तविक व सामान मुल होंगे। ज्ञात करे।
(i) 49x²+kx+1=0
हल — 49x²+kx+1=0 दोनों मूल वास्तविक और सामान है।
∴D=0
b²-4ac=0,
(k)²-4×49×1=0
k²=4×49,
k=±√4×49=±√2×2×7×7
∴k=±14 Ans.
(ii) 3x²-5x+2k=0
मूल वास्तविक और सामान
∴D=b²-4ac=0
या ,(-5)²-4(3)(2k)=0
या ,25-24k=0
24k=25, ∴k=²⁵/₂₄ Ans.
(iii) 9x²-24x+k=0
9x²-24x+k=0 के दोनों मूल वास्तविक और सामान है। D=b²-4ac=0
(-24)²-4(9)k=0
या , 576-36k=0, -36k= -576
या , k=-⁵⁷⁶/-₃₆=¹⁶ ∴k=16 Ans.
(iv)2x²+3x+k=0
2x²+3x+k=0के दोनों मूल वास्तविक और बराबर है
∴D=b²-4ac=0
या , (3)²-4(2)(k)=0,
या ,9-8k=0
या -8k=-9, ∴ k=⁹/₈ Ans.
(v)x²- 2(5+2k)x+3(7+10k)=0
इस समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और सामान है।
∴D=b²-4ac=0{-2(5+2k)}²-4(1)×3(7+10k)=0
या ,4 (5 +2k)² -12 (7+10k )=0
या ,4 (25 +20 k +4k²)-84 -120k =0
या ,100 +80k +16k² -84-120k =0
या ,16k²-40k+16=0
या,8(2k² -5k +2 )=0 , 8 ≠ 0 2k² -5k +2 =0
या ,2k² -4k-k +2 =0
या ,2k (k -2 )-1 (k -2 )
या ,(2k -1)(k -2)=0
या ,तो 2k -1 =0 या ,k -2 =0
∴ k =½,k =2
k =½,या 2 Ans.
एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter – 1.3
(vi)(3k+1)x²+2(k+1)x+k=0
इस समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और सामान है।
∴D=b²-4ac=0
या ,D={2(k=1)}²-4×(3k+1)×k=0
या,4(k+1)²-4(3k²+k)=0
या,4(k²+2k+1)-12k²-4k=0
या,4k²+8k+4-12k²-4k=0
या,-8k²+4k+4=0
या,-4(2k²-k-1)=0
-4 ≠ 0
2k²-k-1=0
2k²-2k-1=0
2k(k-1)+(k-1)=0
(k-1)k+2)=0
या ,तो k-1=0या ,2k+1=0
k=1या ,k=-½Ans.
(3)निम्न प्रदत मूलों द्वारा एक चर बाले द्विघात समीकरण बनाये।
(i )4 ,2 (ii )-4 ,-3 (iii )-4 ,3 (iv)5 ,-3
हल -यदि किसी द्विघात समीकरण के दोनों मूल ज्ञात हो ,तो द्विघात समीकरण निम्नलिखित होगा —
x²-(मूलों का जोड़ )x +(मूलों का योगफल )=0
संक्षेप में x ²-(𝞪+𝛃)x +𝞪𝛃=0
जहाँ 𝞪और 𝛃दोनों ,मूल है।
यहाँ एक चर बाले द्विघात समीकरण के मूल 4 ,2 है।
अतः समीकरण x²-(4 -2 )x +(4×2)=0
x²-6x +8 =0 Ans.
(ii)द्विघात समीकरण के मूल -4 ,-3 है।
∴समीकरण–:x²-(-4 -3 )x +(-4 )=0
(iii) द्विघात समीकरण का मूल -4 ,3 हैं।
∴समीकरण –:x²-(-4 +3)x +(-4 )(3 )=0
=x²+x -12 =0 Ans.
(iv)द्विघात समीकरण के मूल 5 ,-3
अतः समीकरण x²-(5-3)x+(5)(-3)=0
=x²-2x-15=0Ans.
(4) m का मान कितना होने पर 4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0एक चर बाले
द्विघात समीकरण के दोनों मूल परस्पर विपरीत होंगे ?
Ans. 4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0 के दोनों मूल परस्पर बराबर और विपरीत है। D=b²-4ac=0
{4(3m-1)}²-4(4)(m+7)=0
16(9m²-6m+1)-16(m+7)=0
144m²-96m+16-16m-112=0
या , 144m²-112m-96=0
या , 16(9m²-7m-6)=0
16≠0 ∴9m²-7m-6=0
-(-7)±√(-7)²-4(9)(-6)
∴ m=———————————
2×9
+7±√49+216 +7±√265
m=————————- = ———————
18 18
+7+√265 +7-√265
m=——————- = ———————- Ans.
18 18
(5)(b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होने से प्रमाणित करे कि 2b=a+c
Ans.(b-c)x²-(c-a)x+(a-b)=0
के दोनों मूल बराबर और वास्तविक है।
{-(c-a)}²-4(b-c))a-b
∴D =b²-4ac =0
{-(c-a)}²-4(b-c)(a-b)=0
या ,c²-2ca+a²-4(ab-ac-b²+bc)=0
या ,a²-2ca+c²-4ab+4ac+4b²-4bc=0
या ,a²+4b²+c²+2ac-4ab-4bc=0
या ,(a)²+(-2b)²+(c)²+2(a)(c)+2(a)(-2b)+2(c)(-2b)=0
या ,(a-2b+c)²=0,
या ,a-2b+c=0
या ,-2b=-a-c
∴2b=a+c प्रमाणित
(6)(a²+b²)x² -2(ac+bd)x+(c²+d²)एक चर बाले द्विघात समीकरण
के दोनों मूल समान होने से प्रमाणित करे किa/b=c/d
Ans.(a²+b²)x²-2(ac+bd)x+(c²+d²)=0के मूल समान है।
∴D=b²-4ac=0
या ,{-2(ac+bd)}²-4(a²+b²)(c²+d²)=0
या ,4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)=0 या,4(a²c²+2abcd+b²d²)-
4(a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)=0
या,4a²c²+8abcd+4b²d²-
4a²c²+4b²c²+4a²d²+4b²d²=0
या ,-4b²c²+8abcd-4a²d²=0
या ,-4(b²c²-2abcd+a²d²)=0
-4≠0 ∴b²c²-2(bc)(ad)+(ad)²=0,
या,(bc-ad)²=0
∴bc=ad=0, bc=ad
∴ a/d=c/d प्रमाणित
(7)प्रमाणित करे कि 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 एक चर बाले
द्विघात यदि समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि a≠0हो।
Ans. 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 समीकरण का D=b²-4ac
D={2(a+b)}²-4×{2(a²+b²)}(1)
=D=4(a²+2ab+b²)-8(a²+b²)
=D=4a²+8ab+4b²-8a²-8b
=D= -4a²+8ab-4b²
D= -4(a-b)²
D<1 [यदि a≠0]
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है।
(8)5x²+2x-3=0 द्विघात समीकरण के दोनों मूल α और βहोने से
(i)α²+β² (ii) α³+ β³ (iii) ¹/α+¹/β (iv) α²/β+β²/αका मान ज्ञात करे
Ans. ax²+bx+c=0 के मूल यदि α और βहो तो
α+β=-b/a , αβ=c/a
समीकरण 5x²+2x-3=0 के मूल α और βहै।
∴ α+β=- ²/₅ αβ – ³ /₅
(i) α²+ β²=(α+β)²-2αβ=(- ²/₅) -2×- ³/₅=4/₂₅ +⁶/₂₅)
4+30 34 9
= ————- = ———— = 1—-
25 25 25
α+β -²/₅
(ii) ¹/α+¹/β = ———– = ——— = -²/₅ ×⁵/₃=²/₃Ans
αβ -³/₅
(α +β)³ -3ααβ(+β)
(iii) α²/β + β²/α = α³+ β³/αβ =————————-
(-²/₅)³-3×(-³/₅)×(-²/5) ⁸/₁₂₅ -¹⁸/₁₂₅ = ⁸⁻⁹⁰/₁₂₅
=————————— = ——————– = ———-
-³/₅ -³/₅ -³/₅
-⁸²/₁₂₅
=———— =-⁸²/₁₂₅×⁵/- ₃ =⁸²/₇₅ =1⁷/₇₅ Ans.
-³/₅
(9)ax²+bx+c=0 समीकरण का एक मूल दूसरे का दो गुना हो ,तो दिखाएं कि 2b²=9ac
हल –:ax²+bx+c=0समीकरण का एक मूल दूसरे का दोगुना है।
माना पहला मूल= α ∴दूसरा मूल 2αहोगा
समीकरण में α और 2α रखने प
______
α+2α = c/a या 2α²=c/a ∴α²=c/2a=α=√c/2a…………..I
पुनः α×2α=c/a या 2α²=√c/2a………………………………II
I और II से √c/2a=-b /3a
दोनों तरफ वर्ग करने पर
→c/2a=+b/9a² याc/2=b²/9a
2b²=9ac प्रमाणित
(10)जिस समीकरण का मूल x ²+px +1 समीकरण के मुलो के विपरीत हो तो इस समीकरण को ज्ञात करे।
Ans. माना x ²+px +1=0 समीकरण के मूल α और βहै।
∴ α+β=-p ,αβ=1
अभीष्ट समीकरण के लिए मूल क्रमश : -αऔर -βहै।
∴ -α-β=-(α-β)=-(-p)=+p
-α×-β=+αβ=1
x²-(,मूलो का योगफल )x +(मूलो का गुणनफल )=0
x²-(p)x+1=0
∴x²-px+1=0Ans.
(11)जिस समीकरण के मूल x ²+x +1=0 समीकरणों के मूलो के वर्ग के सामान हो तो उस समीकरण को ज्ञात करे।
Ans. माना x ²+x +1=0के मूल क्रमशः αऔर βहै
∴α+β=-1;αβ=1
∴α²+ β²=(α+ β)²-2αβ=(-1 )²-2 (1 )=1-2= -1
∴α²β²=(αβ)²=(1 )²=1
अतः अभीष्ट समीकरण —
x²-(,मूलो का योगफल )x +(मूलो का गुणनफल )=0
=x² -(α+β)x +(αβ)=0
x² -(-1 )x +1 =0
∴ x ²+x +1Ans . x ²+x +1=0
(12 )अति संक्षिप्त प्रश्न
(a)बहुविकल्पी प्रश्न के दोनों मूलो का योग
(i ) x²-6x+2=0
(a) 2 (b)-2 (c) 6 (d)-6
Ans. (c) 6
(ii) x²-3x+k=10 के दोनों मूलो का गुणनफल -2 होने से k का मान क्या होगा ।
(a)-2 (b)-8 (c)8 (d)12
Ans.(c)8
(iii)ax²+bx++c=0 (a≠0) समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और असमान होने से b²-4ac होगा ।
(a)>0 (b) =0 (c)<0 (d)
Ans. (a)>0
(iv)ax²+bx+c=0(a≠0)समीकरण के दोनों मूल समान होने से
(a) c=-b/2a (b)c=b/2a (c) c=-b²/4a (d) c=b²/4a
Ans. c=b²/4a
(v)3x²+8x+2=0 के दोनों बीजαएवंβ होने से〈¹/α +¹/β〉का मान होगा
(a) -³/₈ (b) ²/₃ (c) -4 (d)4
3x²+8x+2=0 के दो मूल α और β है।
α+β=-⁸/₃ , αβ=²/₃
-⁸/₃
अब ,¹/α +¹/β = α+β/αβ =——- = -⁸/₃׳/₂ =-4
²/₃
Ans.(c) -4
(vi) किस शर्त पर द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0का एक मूल शून्य है।
(a)a=0 (b)b=0 (c)=0 (d)इसमें से कोई नहीं है।
Ans.ax²+bx+c=0
c=0
Ans. (ii) c=0
(B)निम्नलिखित विवरणों सत्य है या गलत है ज्ञात करे :–
(i)x²+x+1=0समीकरण के दोनों मूल वास्तविक होंगे।
वास्तविक होने का शर्त b²-4ac≥0
=(1)²-4(1)(1)
=1-4
=-3
यहाँ b²-4ac<0अतः मूल वास्तविक नहीं होंगे।
Ans.गलत
(ii) x²-x+2=0समीकरण के दोनों मूल वास्तविक नहीं है।
Ans. x²-x+2=0
D=(-1)²-4(1)(2)
=1-8
=-7
यहाँ D=b²-4ac<0अतः मूल वास्तविक नहीं है।
Ansसही।
(c)रिक्त स्थानों की पूर्ति करों :–
7x²-12+18=0समीकरण के दोनों मुलो का योग व गुणनफल का अनुपात _____________
(i) 7x²-12+18=0 के दोनों मुलो का योगफल =-(-12)/₇=¹²/₇
और मुलो का गुणनफल=¹⁸/₇
अतः अनुपात ¹²/₇ : ¹⁸/₇ = 2:3
(ii) ax²+bx+c=0 (a≠0)समीकरण के दोनों मूल परस्पर विपरीत होने से c=———
Ans. ax²+bx+c=0 (a≠0) मूल परस्पर विपरीत होने से
b²-4ac=0 ∴c=b²/4a Ans.
(iii) ax²+bx+c=0 (a≠0) समीकरण के दोनों मूल परस्पर प्रतिलोम एवं ॠणात्मक होने से a+c=——–
Ans. ax²+bx+c=0
not possible to solve.
(iv) यदि एक द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 (a≠0) में b²=4ac हो तो समीकरण के मूल वास्तविक और ______होंगे ।
Ans Equal( समान )
(v)(a-2) x²+3x+5=0 समीकरण a के मान ______के लिए एक चर बाले द्विघात समीकरण नहीं होगा ।
Ans. एक चर बाले द्वघात समीकरण ax²+bx+c=0 a≠0
यदि a का मान और शून्य हो जाय तो प्रदत्त द्विघात समीकरन bx+c=0 में बदल जायेगा जो द्विघात समीकरण नहीं होगा ।
(a-2)x²+3x+5=0
a-2=0 ∴a=2
अर्थात a=2 होने समीकरण द्विघात समीकरण नहीं होगा ।
(13)संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न –:
(i)यदि एक एक चर बाले द्विघात समीकरण के दोनों मूल योग 14 एवं गुणनफल 24 होने से द्विघात समीकरण ज्ञात करे।
Ans.द्विघात समीकरण :–
x²-( दोनों मूल का योग ) x+ गुणनफल =0
=x²-(14)x+24=0
=x²-14x+24=0 Ans
(ii)kx²+2z+3k=0 (k≠0) समीकरण के दोनों मूल का योग और गुणनफल सामान हो,तो k=?
Ans kx²+2x+3k=0
मुलो का योगफल ²/k ,गुणनफल =3k/k
अब =3k=-2 ∴k=-²/₃ Ans.
(iii)x²-22×105=5 समीकरणों का मूल α एवं β होने से (α- β)का मान रखें।
Ans. x²-22x+105=0
मुलो का योगफल =-(-²²)/₁ =23 ∴α+β=22
मुलो का गुणनफल 105 ∴αβ=105
(α-β)²=(α +β)²-4αβ=(22)²-4×105=484-420
, ( α-β)²=64
∴α- β±√64=±8 Ans .
(iv) x²-x=k(2x-1) समीकरण के दोनों मूल योग शून्य होने से kका मान लिखे
Ans. x²-x=k(2x-1)
=x²-x=2kx-k
=x ²-x-2kx+k=0
=x²-(1+2k)x+k=0
दोनों मुलो का योगफल =0
-{-(1+2k)}
∴——————-=0
k
=1+2k=0
=2k=-1 ∴k=-¹/₂
(v)x²+bx+12=0 एवं x²+bx+q=9 समीकरण एक मूल 2 होने से qका मान लिखें ।
Ans.x²+bx+12=0 और x²+bx+q=0
का एक मूल दो 2है
=(2)²+b(2)+12=0
=4+2b+12=0
=2b+16=0
=b=-¹⁶/₂= -8
∴b=-8
पुनः x²+bx+q=0
=(2)²+b(2)+q=0
=4+2b+q=0
=q=-4-2b=-4-2(-8)=-4+16=12
∴q=12 Ans
(vi) बिना समाधान किये ‘P ‘ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए x²+(p-3)x+p=0समीकरण के मूल वास्तविक और सामान
होंगे।
Ans.ax²+bx+c=0 द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और सामान होंगे यदि b²-4ac=0
x²+(p-3)x+p=0
यहाँ a=1, b=(p-3) एक c=p
∴(p-3)²-4×1×p=0
=p²-6p-4p=0
=p²-10p+9=0
=p²-9p-p+9+0
=p(p-9)-1(p-9)+?
=(p-9)(p-1)=0
=(p-9)(p-1)=0
p-9=0 p-1=0
∴p=9 ∴p=1
p =9 1
(vii) किसी द्विघात समीकरण के दो मूल 2 -3 होने से समीकरण लिखो
हल -यदि किसी द्विघात समीकरण के दो मूल αऔर βहों तो
वह द्विघात समीकरण x²-(α -β)x+ αβ=0होगा
प्रश्नानुसार α=2 β=-3
तो द्विघात समीकरण होगा
x²-{2+(-3)}x+2x-3=0
,x²-(2-3)x-6=0
, x²-(-1)x-6=0
, x²+x-6=0 Ans