एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter-1.5 class-10(W.B Board)

एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter-1.5 class-10(W.B Board)

 

1. निम्नलिखित एक चर बाले द्विघात समीकरण के दोनों मुलो की प्रकृति ज्ञात करें।
हल -(i )2x²+7x+3=0
दिये गए समीकरण का निरूपक
D=(+7)²-4×1×12
D=+49-48, D=+1, D>0
अर्थात 2x²+7x+3=0 समीकरण के मूल वास्तवीक और आसमान है।
एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter-1.5 class-10(W.B Board)
एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter-1.5 class-10(W.B Board)

(ii) 3x²-2√6x+2=0

समीकरण का निरूपक या विवेचक (D)+b²-4ac

D=(-2√6)²-4×3×2, D=24-24, D=0

दिए गए समीकरण 3x²-2√6x+2=0 के मूल वास्तविक और बराबर है।

(iii )2x²-7x+9=0 दिए गए समिककरण का विवेचक

D=b²-4ac, D=(-7)²-4(2)(9), D=49-72

D= -23, D<0

अर्थात b²-4ac<0 अतः समीकरण का मूल वास्तविक नहीं है।

(iv ) ²/₃ ₓ² – ²/₃ ₓ+1=0

इस समीकरण का विवेचक D=b²-4ac

D= ⁻⁵²/₄₅ , D<0

अर्थात b²-4ac<0 अतः समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है।

(2 )Kके किस मान हेतु निम्ननिखित द्विघात समीकरण के वास्तविक व सामान मुल होंगे। ज्ञात करे।

(i) 49x²+kx+1=0

हल — 49x²+kx+1=0  दोनों मूल वास्तविक और सामान है।
∴D=0

b²-4ac=0,

(k)²-4×49×1=0

k²=4×49,

k=±√4×49=±√2×2×7×7

∴k=±14 Ans.
(ii) 3x²-5x+2k=0

मूल वास्तविक और सामान

∴D=b²-4ac=0

या ,(-5)²-4(3)(2k)=0

या ,25-24k=0

24k=25, ∴k=²⁵/₂₄ Ans.

(iii) 9x²-24x+k=0

9x²-24x+k=0 के दोनों मूल वास्तविक और सामान है। D=b²-4ac=0

(-24)²-4(9)k=0

या  , 576-36k=0,    -36k= -576
या , k=-⁵⁷⁶/-₃₆=¹⁶   ∴k=16 Ans.

(iv)2x²+3x+k=0

2x²+3x+k=0के दोनों मूल वास्तविक और बराबर  है

∴D=b²-4ac=0

या , (3)²-4(2)(k)=0,

या ,9-8k=0

या -8k=-9,   ∴ k=⁹/₈ Ans.

(v)x²- 2(5+2k)x+3(7+10k)=0

इस समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और सामान है।

∴D=b²-4ac=0{-2(5+2k)}²-4(1)×3(7+10k)=0

या ,4 (5 +2k)² -12 (7+10k )=0

या ,4 (25 +20 k +4k²)-84 -120k =0

या ,100 +80k +16k² -84-120k =0

या ,16k²-40k+16=0

या,8(2k² -5k +2 )=0 , 8 ≠ 0  2k² -5k +2 =0

या ,2k² -4k-k +2 =0

या ,2k (k -2 )-1 (k -2 )

या ,(2k -1)(k -2)=0

या ,तो 2k -1 =0 या ,k -2 =0

∴ k =½,k =2

k =½,या 2 Ans.

एक चर बाले द्विघात समीकरण chapter – 1.3 

(vi)(3k+1)x²+2(k+1)x+k=0

इस समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और सामान है।

∴D=b²-4ac=0

या ,D={2(k=1)}²-4×(3k+1)×k=0

या,4(k+1)²-4(3k²+k)=0

या,4(k²+2k+1)-12k²-4k=0

या,4k²+8k+4-12k²-4k=0

या,-8k²+4k+4=0

या,-4(2k²-k-1)=0

-4 ≠ 0

2k²-k-1=0

2k²-2k-1=0

2k(k-1)+(k-1)=0

(k-1)k+2)=0

या ,तो k-1=0या ,2k+1=0

k=1या ,k=-½Ans.

(3)निम्न प्रदत मूलों द्वारा एक चर बाले द्विघात समीकरण बनाये।

(i )4 ,2 (ii )-4 ,-3 (iii )-4 ,3 (iv)5 ,-3

हल -यदि किसी द्विघात समीकरण के दोनों मूल ज्ञात हो ,तो द्विघात समीकरण निम्नलिखित होगा —

x²-(मूलों का जोड़ )x +(मूलों का योगफल )=0

संक्षेप में x ²-(𝞪+𝛃)x +𝞪𝛃=0

जहाँ 𝞪और 𝛃दोनों ,मूल है।

यहाँ एक चर बाले द्विघात समीकरण के मूल 4 ,2 है।

अतः समीकरण x²-(4 -2 )x +(4×2)=0

x²-6x +8 =0 Ans.

(ii)द्विघात समीकरण के मूल -4 ,-3 है।

∴समीकरण–:x²-(-4 -3 )x +(-4 )=0

(iii) द्विघात समीकरण का मूल -4 ,3 हैं।

∴समीकरण –:x²-(-4 +3)x +(-4 )(3 )=0

=x²+x -12 =0 Ans.

(iv)द्विघात समीकरण के मूल  5 ,-3

अतः  समीकरण   x²-(5-3)x+(5)(-3)=0

=x²-2x-15=0Ans.

(4) m का मान कितना होने पर     4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0एक चर बाले

द्विघात समीकरण के दोनों मूल परस्पर विपरीत होंगे ?

Ans. 4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0 के दोनों मूल परस्पर बराबर और विपरीत है।      D=b²-4ac=0

{4(3m-1)}²-4(4)(m+7)=0

16(9m²-6m+1)-16(m+7)=0

144m²-96m+16-16m-112=0

या , 144m²-112m-96=0

या , 16(9m²-7m-6)=0

16≠0  ∴9m²-7m-6=0

-(-7)±√(-7)²-4(9)(-6)
∴ m=———————————
2×9

+7±√49+216               +7±√265
m=————————-  =  ———————
18                             18

+7+√265                      +7-√265
m=——————-      =     ———————-  Ans.
18                               18

(5)(b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होने से प्रमाणित करे कि  2b=a+c

Ans.(b-c)x²-(c-a)x+(a-b)=0

के दोनों मूल बराबर और वास्तविक है।

{-(c-a)}²-4(b-c))a-b

∴D =b²-4ac =0

{-(c-a)}²-4(b-c)(a-b)=0

या ,c²-2ca+a²-4(ab-ac-b²+bc)=0

या ,a²-2ca+c²-4ab+4ac+4b²-4bc=0

या ,a²+4b²+c²+2ac-4ab-4bc=0

या ,(a)²+(-2b)²+(c)²+2(a)(c)+2(a)(-2b)+2(c)(-2b)=0

या ,(a-2b+c)²=0,

या ,a-2b+c=0

या ,-2b=-a-c

∴2b=a+c प्रमाणित

(6)(a²+b²)x² -2(ac+bd)x+(c²+d²)एक चर बाले द्विघात समीकरण

के दोनों मूल समान होने से प्रमाणित करे किa/b=c/d

Ans.(a²+b²)x²-2(ac+bd)x+(c²+d²)=0के  मूल समान है।

∴D=b²-4ac=0

या ,{-2(ac+bd)}²-4(a²+b²)(c²+d²)=0

या ,4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)=0 या,4(a²c²+2abcd+b²d²)-

4(a²c²+b²c²+a²d²+b²d²)=0

या,4a²c²+8abcd+4b²d²-

4a²c²+4b²c²+4a²d²+4b²d²=0

या ,-4b²c²+8abcd-4a²d²=0

या ,-4(b²c²-2abcd+a²d²)=0

-4≠0   ∴b²c²-2(bc)(ad)+(ad)²=0,

या,(bc-ad)²=0

∴bc=ad=0,  bc=ad

∴ a/d=c/d  प्रमाणित

(7)प्रमाणित करे कि     2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0  एक चर बाले

द्विघात यदि   समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि a≠0हो।

Ans. 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 समीकरण का  D=b²-4ac

D={2(a+b)}²-4×{2(a²+b²)}(1)

=D=4(a²+2ab+b²)-8(a²+b²)

=D=4a²+8ab+4b²-8a²-8b

=D= -4a²+8ab-4b²

D= -4(a-b)²

D<1           [यदि  a≠0]

अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है।

(8)5x²+2x-3=0   द्विघात समीकरण के दोनों मूल  α और  βहोने से

(i)α²+β² (ii) α³+ β³ (iii) ¹/α+¹/β  (iv)  α²/β+β²/αका मान ज्ञात करे

Ans. ax²+bx+c=0 के मूल यदि  α और βहो तो

α+β=-b/a ,    αβ=c/a

समीकरण  5x²+2x-3=0 के मूल  α और  βहै।

∴ α+β=- ²/₅     αβ  – ³ /₅

(i) α²+ β²=(α+β)²-2αβ=(- ²/₅) -2×- ³/₅=4/₂₅ +⁶/₂₅)

4+30              34                9
= ————- =   ————  =  1—-
25                 25              25

α+β         -²/₅
(ii) ¹/α+¹/β = ———– = ——— = -²/₅ ×⁵/₃=²/₃Ans
αβ          -³/₅

(α +β)³ -3ααβ(+β)
(iii) α²/β + β²/α = α³+ β³/αβ =————————-

(-²/₅)³-3×(-³/₅)×(-²/5)           ⁸/₁₂₅ -¹⁸/₁₂₅   = ⁸⁻⁹⁰/₁₂₅
=————————— =  ——————– = ———-
-³/₅                         -³/₅                            -³/₅
-⁸²/₁₂₅
=———— =-⁸²/₁₂₅×⁵/- ₃ =⁸²/₇₅  =1⁷/₇₅ Ans.
-³/₅

(9)ax²+bx+c=0 समीकरण का एक मूल दूसरे का दो गुना हो ,तो दिखाएं कि  2b²=9ac

हल –:ax²+bx+c=0समीकरण का एक मूल दूसरे का दोगुना है।

माना पहला मूल= α      ∴दूसरा मूल 2αहोगा

समीकरण में α और 2α  रखने प
______
α+2α = c/a  या 2α²=c/a ∴α²=c/2a=α=√c/2a…………..I

पुनः  α×2α=c/a या 2α²=√c/2a………………………………II

I और II से √c/2a=-b /3a

दोनों तरफ वर्ग करने पर

→c/2a=+b/9a² याc/2=b²/9a

2b²=9ac प्रमाणित

(10)जिस समीकरण का मूल x ²+px +1  समीकरण के मुलो के विपरीत हो तो इस समीकरण को ज्ञात करे।

Ans. माना x ²+px +1=0 समीकरण के मूल α और βहै।

∴ α+β=-p ,αβ=1

अभीष्ट समीकरण के लिए मूल क्रमश  : -αऔर -βहै।

∴ -α-β=-(α-β)=-(-p)=+p

-α×-β=+αβ=1

x²-(,मूलो का योगफल )x +(मूलो का गुणनफल )=0

x²-(p)x+1=0

∴x²-px+1=0Ans.

(11)जिस समीकरण के मूल x ²+x +1=0 समीकरणों के मूलो के वर्ग के सामान हो तो उस समीकरण को ज्ञात करे।

Ans. माना  x ²+x +1=0के मूल क्रमशः αऔर βहै

∴α+β=-1;αβ=1

∴α²+ β²=(α+ β)²-2αβ=(-1 )²-2 (1 )=1-2= -1

∴α²β²=(αβ)²=(1 )²=1

अतः अभीष्ट समीकरण —

x²-(,मूलो का योगफल )x +(मूलो का गुणनफल )=0

=x² -(α+β)x +(αβ)=0

x² -(-1 )x +1 =0

∴ x ²+x +1Ans .  x ²+x +1=0

(12 )अति संक्षिप्त प्रश्न

(a)बहुविकल्पी प्रश्न के दोनों मूलो का योग

(i ) x²-6x+2=0

(a) 2    (b)-2          (c) 6     (d)-6

Ans.  (c) 6

(ii) x²-3x+k=10 के दोनों मूलो का गुणनफल   -2 होने से      k का मान क्या होगा ।

(a)-2     (b)-8     (c)8   (d)12

Ans.(c)8

(iii)ax²+bx++c=0 (a≠0)  समीकरण के दोनों मूल  वास्तविक और असमान होने से  b²-4ac होगा ।

(a)>0    (b) =0    (c)<0    (d)

Ans. (a)>0

(iv)ax²+bx+c=0(a≠0)समीकरण के दोनों मूल समान होने से

(a) c=-b/2a  (b)c=b/2a (c) c=-b²/4a (d) c=b²/4a

Ans. c=b²/4a

(v)3x²+8x+2=0 के दोनों बीजαएवंβ होने से〈¹/α +¹/β〉का मान होगा

(a) -³/₈   (b) ²/₃   (c) -4 (d)4

3x²+8x+2=0 के दो मूल  α और β है।

α+β=-⁸/₃  ,  αβ=²/₃
-⁸/₃
अब ,¹/α +¹/β = α+β/αβ =——- = -⁸/₃׳/₂ =-4
²/₃
Ans.(c) -4

(vi) किस शर्त पर द्विघात समीकरण   ax²+bx+c=0का एक मूल शून्य है।

(a)a=0    (b)b=0   (c)=0    (d)इसमें से कोई नहीं है।

Ans.ax²+bx+c=0

c=0

Ans.   (ii) c=0

 

(B)निम्नलिखित विवरणों सत्य है या गलत है ज्ञात करे :–

(i)x²+x+1=0समीकरण के दोनों मूल वास्तविक होंगे।

वास्तविक होने का शर्त b²-4ac≥0

=(1)²-4(1)(1)

=1-4

=-3

यहाँ b²-4ac<0अतः मूल वास्तविक नहीं होंगे।

Ans.गलत

(ii) x²-x+2=0समीकरण के दोनों मूल वास्तविक नहीं है।

Ans. x²-x+2=0

D=(-1)²-4(1)(2)

=1-8

=-7

यहाँ  D=b²-4ac<0अतः मूल वास्तविक नहीं है।

Ansसही।

(c)रिक्त स्थानों की पूर्ति करों :–

7x²-12+18=0समीकरण के दोनों मुलो का योग व गुणनफल का अनुपात _____________

(i) 7x²-12+18=0  के दोनों मुलो का योगफल =-(-12)/₇=¹²/₇

और मुलो का  गुणनफल=¹⁸/₇

अतः  अनुपात      ¹²/₇  :  ¹⁸/₇  = 2:3

(ii) ax²+bx+c=0  (a≠0)समीकरण के दोनों मूल परस्पर विपरीत होने से    c=———

Ans. ax²+bx+c=0  (a≠0) मूल परस्पर विपरीत होने से

b²-4ac=0  ∴c=b²/4a Ans.

(iii) ax²+bx+c=0  (a≠0)  समीकरण के दोनों मूल परस्पर प्रतिलोम एवं ॠणात्मक होने से  a+c=——–

Ans. ax²+bx+c=0

not possible to solve.

(iv) यदि एक द्विघात समीकरण   ax²+bx+c=0  (a≠0)  में  b²=4ac हो तो समीकरण के मूल वास्तविक और ______होंगे ।
Ans    Equal( समान )

(v)(a-2) x²+3x+5=0 समीकरण a के मान ______के लिए एक चर बाले द्विघात समीकरण नहीं होगा ।

Ans. एक चर बाले द्वघात समीकरण  ax²+bx+c=0   a≠0
यदि  a   का मान और शून्य हो जाय तो प्रदत्त द्विघात समीकरन bx+c=0  में बदल जायेगा जो द्विघात समीकरण  नहीं होगा ।

(a-2)x²+3x+5=0

a-2=0  ∴a=2

अर्थात  a=2 होने समीकरण द्विघात समीकरण नहीं होगा ।

(13)संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न –:

(i)यदि एक एक चर बाले द्विघात समीकरण के दोनों मूल योग 14 एवं गुणनफल 24 होने से द्विघात समीकरण ज्ञात करे।

Ans.द्विघात समीकरण :–
x²-( दोनों मूल का योग )   x+ गुणनफल   =0

=x²-(14)x+24=0

=x²-14x+24=0 Ans

(ii)kx²+2z+3k=0 (k≠0) समीकरण के दोनों मूल का योग और गुणनफल सामान हो,तो     k=?

Ans kx²+2x+3k=0

मुलो का योगफल  ²/k ,गुणनफल =3k/k

अब =3k=-2 ∴k=-²/₃   Ans.

(iii)x²-22×105=5 समीकरणों का मूल   α एवं  β होने से  (α- β)का मान रखें।

Ans. x²-22x+105=0

मुलो का योगफल   =-(-²²)/₁ =23 ∴α+β=22

मुलो का गुणनफल  105 ∴αβ=105

(α-β)²=(α +β)²-4αβ=(22)²-4×105=484-420

, ( α-β)²=64

∴α- β±√64=±8 Ans .

(iv) x²-x=k(2x-1)  समीकरण के दोनों मूल योग शून्य होने से kका मान लिखे

Ans. x²-x=k(2x-1)

=x²-x=2kx-k

=x ²-x-2kx+k=0

=x²-(1+2k)x+k=0

दोनों मुलो का योगफल  =0

-{-(1+2k)}

∴——————-=0
k
=1+2k=0

=2k=-1             ∴k=-¹/₂

(v)x²+bx+12=0 एवं   x²+bx+q=9 समीकरण एक मूल 2 होने से   qका मान लिखें ।

Ans.x²+bx+12=0 और  x²+bx+q=0

का एक मूल दो 2है

=(2)²+b(2)+12=0

=4+2b+12=0

=2b+16=0

=b=-¹⁶/₂= -8

∴b=-8

पुनः x²+bx+q=0

=(2)²+b(2)+q=0

=4+2b+q=0

=q=-4-2b=-4-2(-8)=-4+16=12

∴q=12 Ans

(vi) बिना समाधान किये  ‘P ‘ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए   x²+(p-3)x+p=0समीकरण के मूल वास्तविक और सामान

होंगे।
Ans.ax²+bx+c=0 द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और सामान होंगे यदि   b²-4ac=0

x²+(p-3)x+p=0

यहाँ  a=1, b=(p-3) एक c=p

∴(p-3)²-4×1×p=0

=p²-6p-4p=0

=p²-10p+9=0

=p²-9p-p+9+0

=p(p-9)-1(p-9)+?

=(p-9)(p-1)=0

=(p-9)(p-1)=0

p-9=0    p-1=0

∴p=9    ∴p=1

p =9    1

(vii)  किसी द्विघात समीकरण के दो मूल   2   -3 होने से समीकरण लिखो

हल -यदि किसी द्विघात समीकरण के दो मूल   αऔर βहों तो

वह द्विघात समीकरण  x²-(α -β)x+ αβ=0होगा
प्रश्नानुसार  α=2      β=-3

तो द्विघात समीकरण होगा

x²-{2+(-3)}x+2x-3=0

,x²-(2-3)x-6=0

, x²-(-1)x-6=0

, x²+x-6=0   Ans

 

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